2. 考研
  3. 根据下列条件，进行回答。 当x＞0时，证明方程2ln(1+x)=x有唯一实根ξ。

根据下列条件，进行回答。 当x＞0时，证明方程2ln(1+x)=x有唯一实根ξ。

admin2022-03-23  48
问题 根据下列条件，进行回答。
当x＞0时，证明方程2ln(1+x)=x有唯一实根ξ。
选项
答案令f(x)=x－2ln(1+x),则f(0)=0,f‘(x)=1－[*] 当0＜x＜1时，f’(x)＜0,f(x)在（0,1）内单调减少，所以存在x1(0＜x1＜1),使得f(x1)＜0,又由于 [*]=＋∞,所以存在X＞0，当x2＞X＞0时，使得f(x2)＞0. 由零点定理，有f(ξ)=0且ξ＞0. 再证ξ的唯一性。 用反证法：设f(x)在（0，+∞）内存在两个不同零点ξ，η，不妨设ξ＜η，则f(0)=f(ξ)=f(η)=0. 由罗尔定理，存在ξ1∈（0，ξ），使得f’(ξ1）=0，存在ξ2∈（ξ，η），使得f’(ξ2）=0，故存在τ∈（ξ1，ξ2），使得f"(τ)=0 但f’’(x)=[*]＞0，矛盾，故ξ唯一。
解析
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考研数学三

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