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  3. [2010年] 设，已知线性方程组AX=b存在两个不同的解．(I)求λ，a；(Ⅱ)求方程组AX=b的通解．

[2010年] 设，已知线性方程组AX=b存在两个不同的解．(I)求λ，a；(Ⅱ)求方程组AX=b的通解．

admin2019-08-01  109
问题 [2010年]  设，已知线性方程组AX=b存在两个不同的解．(I)求λ，a；(Ⅱ)求方程组AX=b的通解．
选项
答案先利用题设方程组有解且不唯一的性质得到秩([*])=秩(A)＜3，求得λ，a． (Ⅰ)解一 因AX—b有两个不同的解，则AX=0有非零解，因而AX=b有无穷多组解，故秩([*])=秩(A)＜3，于是∣A∣=0，由 ∣A∣=[*]=(λ一1)2(λ+1)=0， 解得λ=1或λ=一1．当λ=1时，秩(A)一1≠秩([*])=2,AX=b无解，故λ≠1，因而λ=一1． 因[*] 由秩(A)=秩([*])=2，得到a+2=0，即a=一2． 解二 由题设知，秩(A)=秩([A:b])＜3，对增广矩阵进行初等行变换得到 [*] 当λ=1时，[A:b]一[*]．此时秩(A)=2≠秩([A:b])， 方程组无解，故λ≠1． 当λ=一1时，[A:b]一[*]．为使秩(A)=秩([A:b])=2＜3，必有 a+2=0， 即 a=一2． (Ⅱ)因A→[*] 由基础解系的简便求法即得AX=0的基础解系只含一个解向量α=[1，0，1]T，AX=b的一个特解为β=[3／2，－1／2，0]T，因而AX=b的通解为 X=cα+β=c[1，0，1]T+[3／2，一1／2，0]T，其中c为任意常数．
解析
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考研数学二

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