2. 考研
  3. 设A=E-ααT，α为3维非零列向量． (I)求A-1，并证明：α与Aα线性相关； (Ⅱ)若α=(α，α，α)T(a≠0)，求正交矩阵Q，使得QTAQ=A； (Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上，A与A2是否合同?说明理由．

设A=E-ααT，α为3维非零列向量． (I)求A-1，并证明：α与Aα线性相关； (Ⅱ)若α=(α，α，α)T(a≠0)，求正交矩阵Q，使得QTAQ=A； (Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上，A与A2是否合同?说明理由．

admin2022-04-27  105
问题 设A=E-ααT，α为3维非零列向量．
(I)求A-1，并证明：α与Aα线性相关；
(Ⅱ)若α=(α，α，α)T(a≠0)，求正交矩阵Q，使得QTAQ=A；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上，A与A2是否合同?说明理由．
选项
答案[*] 故α与Aα线性相关． (Ⅱ)由α=(a，a，a)T(a≠0)，知 αTα=3a2，ααT=[*](a，a，a)=a2[*]， 故 A=[*] A为实对称矩阵． 由｜λE-A｜=0，得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2． 由(1·E-A)x=0，得A的特征向量为 α1=(-1，1，0)T，α2=(1，1，-2)T(已正交)． 由(-2E-A)x=0，得A的特征向量为α3=(1，1，1)T． 将α1，α2，α3单位化，得 γ1=[*](-1，1，0)T，γ2=[*](1，1，-2)T，γ3=[*](1，1，1)T 令Q=(γ1，γ2，γ3)，为正交矩阵，使得 Q-1AQ=QTAQ=[*] (Ⅲ)由A2=[*]，｜XE-A2｜=0，得A2的特征值为1，1，4．而A的正、负惯性指数为PA=2，qA=1．A2的正、负惯性指数为[*]，故A与A2不合同．
解析
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考研数学三

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