设A=E-ααT,α为3维非零列向量. (I)求A-1,并证明:α与Aα线性相关; (Ⅱ)若α=(α,α,α)T(a≠0),求正交矩阵Q,使得QTAQ=A; (Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上,A与A2是否合同?说明理由.

admin2022-04-27  42

问题 设A=E-ααT,α为3维非零列向量.
(I)求A-1,并证明:α与Aα线性相关;
(Ⅱ)若α=(α,α,α)T(a≠0),求正交矩阵Q,使得QTAQ=A;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上,A与A2是否合同?说明理由.

选项

答案[*] 故α与Aα线性相关. (Ⅱ)由α=(a,a,a)T(a≠0),知 αTα=3a2,ααT=[*](a,a,a)=a2[*], 故 A=[*] A为实对称矩阵. 由|λE-A|=0,得A的特征值为λ12=1,λ3=-2. 由(1·E-A)x=0,得A的特征向量为 α1=(-1,1,0)T,α2=(1,1,-2)T(已正交). 由(-2E-A)x=0,得A的特征向量为α3=(1,1,1)T. 将α1,α2,α3单位化,得 γ1=[*](-1,1,0)T,γ2=[*](1,1,-2)T,γ3=[*](1,1,1)T 令Q=(γ1,γ2,γ3),为正交矩阵,使得 Q-1AQ=QTAQ=[*] (Ⅲ)由A2=[*],|XE-A2|=0,得A2的特征值为1,1,4.而A的正、负惯性指数为PA=2,qA=1.A2的正、负惯性指数为[*],故A与A2不合同.

解析
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