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已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量. (1)证明X,AX线性无关; (2)若A2X+AX-6X=0,求A的特征值,并讨论A可否对角化.
已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量. (1)证明X,AX线性无关; (2)若A2X+AX-6X=0,求A的特征值,并讨论A可否对角化.
admin
2019-08-11
64
问题
已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量.
(1)证明X,AX线性无关;
(2)若A
2
X+AX-6X=0,求A的特征值,并讨论A可否对角化.
选项
答案
(1)用反证法证之.若X与AX线性相关,则存在不全为零的常数k
1
,k
2
使k
1
X+k
2
AX=0.为方便计,设k
2
≠0,则AX=[*]X,于是X为A的特征向量,与题设矛盾. (2)由题设有 A
2
X+AX一6X=(A+3E)(A一2E)X=0. ① 下证A一2E,A+3E必不可逆,即|A一2E|=|A+3E|=0. 事实上,如A+3E可逆,则由方程①得到 (A一2E)X=AX一2X=0, 即 AX=2X. 这说明X为A的特征向量,故 |A+3E|=0. ② 同法可证A-2E也不可逆,即 |A一2E|=0. ③ 由式②、式③即知,2与一3为A的特征值,所以A能与对角阵相似.
解析
A为抽象矩阵,则AX,X均为抽象的向量组.讨论其特征值、特征向量的有关问题常用有关定义及其性质证明.也常用反证法证之.
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考研数学三
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