已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量． (1)证明X，AX线性无关； (2)若A2X＋AX－6X＝0，求A的特征值，并讨论A可否对角化．

admin2019-08-11 41

问题已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量．
(1)证明X，AX线性无关；
(2)若A²X＋AX－6X＝0，求A的特征值，并讨论A可否对角化．

选项

答案(1)用反证法证之．若X与AX线性相关，则存在不全为零的常数k₁，k₂使k₁X＋k₂AX＝0．为方便计，设k₂≠0，则AX＝[*]X，于是X为A的特征向量，与题设矛盾． (2)由题设有 A²X＋AX一6X＝(A＋3E)(A一2E)X＝0． ① 下证A一2E，A＋3E必不可逆，即｜A一2E｜＝｜A＋3E｜＝0．事实上，如A＋3E可逆，则由方程①得到 (A一2E)X＝AX一2X＝0，即 AX＝2X．这说明X为A的特征向量，故｜A＋3E｜＝0． ② 同法可证A－2E也不可逆，即｜A一2E｜＝0． ③ 由式②、式③即知，2与一3为A的特征值，所以A能与对角阵相似．

解析 A为抽象矩阵，则AX，X均为抽象的向量组．讨论其特征值、特征向量的有关问题常用有关定义及其性质证明．也常用反证法证之．

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考研数学三

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