2. 考研
  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1－χ2)2＋(χ1－χ3)2＋(χ3－χ2)2． (Ⅰ)求二次型f的秩； (Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1－χ2)2＋(χ1－χ3)2＋(χ3－χ2)2． (Ⅰ)求二次型f的秩； (Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．

admin2020-06-20  30
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1－χ2)2＋(χ1－χ3)2＋(χ3－χ2)2．
    (Ⅰ)求二次型f的秩；
    (Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．
选项
答案(Ⅰ)由于f＝2χ12＋2χ22＋2χ32－2χ1χ2－2χ2χ3－2χ1χ3，二次型对应的矩阵为A，则有 [*] 所以矩阵A的秩为2． (Ⅱ)记二次型厂的矩阵为A，则 [*] 可知λ1＝0，λ2＝λ3＝3． 又λ1＝0时，特征向量η1＝(1，1，1)T，将η1单位化后得r1＝[*]． λ2＝λ3＝3时，特征向量η2＝(－1，1，0)T，η3＝(－1，0，1)T，对η2，η3施行施密特正交化得 β2＝η2＝(－1，1，0)T， β3＝[*]， 再将β2，β3单位化，得[*] 故正交变换矩阵Q＝[*]，且有χ＝Qy，使f＝3y22＋3y32．
解析
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考研数学三

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