2. 考研
  3. 已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系，则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是( )．

已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系，则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是( )．

admin2021-07-27  35
问题 已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系，则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是(          )．
选项 A、α1=-ξ2-ξ3-…-ξr，α2=ξ1-ξ3-ξ4-…-ξr，α3=ξ1+ξ2-ξ4-…-ξr，…，    αr=ξ1+ξ2+…+ξr-1
B、β1=ξ2+ξ3+…+ξr，β2=ξ1+ξ3+ξ4+…+ξr，β3=ξ1+ξ2+ξ4+…+ξr，…，    βr=ξ1+ξ2+…+ξr-1
C、ξ1，ξ2，…，ξr的一个等价向量组
D、ξ1，ξ2，…，ξr的一个等秩向量组
答案B
解析 β1=ξ2+ξ3+…+ξr，β2=ξ1+ξ3+…+ξr，…，β3=ξ 1+ξ2+ξ4+…+ξr，…，βr=ξ1+ξ2+…+ξr-1是Ax=0的基础解系．因①由解的性质知，AβiA(ξ1+ξ2+…+ξi-1+ξi+1+…+ξr)=0，故βi均是Ax=0的解向量．②向量个数为r=n-r(A)，与原基础解系向量个数一样多．对(A)，当r=3时，α1=-ξ2-ξ3，α2=ξ1-ξ3，α3=ξ1+ξ2．因α1-α2+α3=-ξ2-ξ3-(ξ1-ξ3)+ξ1+{ξ2=0，α1，α2，α3线性相关，故(A)中α1，α2，…，αr不是Ax=0的基础解系．对(C)，与ξ1，ξ2，…，ξr等价的向量组，向量组个数可以超过r个(即与ξ1，ξ2，…，ξr等价的向量组可能线性相关)，对(D)，与ξ1，ξ2，…，ξr等秩的向量组可能不是Ax=0的解向量，且个数也可以超过r，故(A)，(C)，(D)均不成立．
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考研数学二

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