已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系，则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是( )．

admin2021-07-27 23

问题已知ξ₁，ξ₂，…，ξ_r(r≥3)是Ax=0的基础解系，则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是( )．

选项 A、α₁=-ξ₂-ξ₃-…-ξ_r，α₂=ξ₁-ξ₃-ξ₄-…-ξ_r，α₃=ξ₁+ξ₂-ξ₄-…-ξ_r，…， α_r=ξ₁+ξ₂+…+ξ_r-1
B、β₁=ξ₂+ξ₃+…+ξ_r，β₂=ξ₁+ξ₃+ξ₄+…+ξ_r，β₃=ξ₁+ξ₂+ξ₄+…+ξ_r，…， β_r=ξ₁+ξ₂+…+ξ_r-1
C、ξ₁，ξ₂，…，ξ_r的一个等价向量组
D、ξ₁，ξ₂，…，ξ_r的一个等秩向量组

答案B

解析 β₁=ξ₂+ξ₃+…+ξ_r，β₂=ξ₁+ξ₃+…+ξ_r，…，β₃=ξ ₁+ξ₂+ξ₄+…+ξ_r，…，β_r=ξ₁+ξ₂+…+ξ_r-1是Ax=0的基础解系．因①由解的性质知，Aβ_iA(ξ₁+ξ₂+…+ξ_i-1+ξ_i+1+…+ξ_r)=0，故β_i均是Ax=0的解向量．②向量个数为r=n-r(A)，与原基础解系向量个数一样多．对(A)，当r=3时，α₁=-ξ₂-ξ₃，α₂=ξ₁-ξ₃，α₃=ξ₁+ξ₂．因α₁-α₂+α₃=-ξ₂-ξ₃-(ξ₁-ξ₃)+ξ₁+{ξ₂=0，α₁，α₂，α₃线性相关，故(A)中α₁，α₂，…，α_r不是Ax=0的基础解系．对(C)，与ξ₁，ξ₂，…，ξ_r等价的向量组，向量组个数可以超过r个(即与ξ₁，ξ₂，…，ξ_r等价的向量组可能线性相关)，对(D)，与ξ₁，ξ₂，…，ξ_r等秩的向量组可能不是Ax=0的解向量，且个数也可以超过r，故(A)，(C)，(D)均不成立．

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考研数学二

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