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已知ξ1,ξ2,…,ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系,则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是( ).
已知ξ1,ξ2,…,ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系,则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是( ).
admin
2021-07-27
32
问题
已知ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
(r≥3)是Ax=0的基础解系,则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是( ).
选项
A、α
1
=-ξ
2
-ξ
3
-…-ξ
r
,α
2
=ξ
1
-ξ
3
-ξ
4
-…-ξ
r
,α
3
=ξ
1
+ξ
2
-ξ
4
-…-ξ
r
,…, α
r
=ξ
1
+ξ
2
+…+ξ
r-1
B、β
1
=ξ
2
+ξ
3
+…+ξ
r
,β
2
=ξ
1
+ξ
3
+ξ
4
+…+ξ
r
,β
3
=ξ
1
+ξ
2
+ξ
4
+…+ξ
r
,…, β
r
=ξ
1
+ξ
2
+…+ξ
r-1
C、ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
的一个等价向量组
D、ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
的一个等秩向量组
答案
B
解析
β
1
=ξ
2
+ξ
3
+…+ξ
r
,β
2
=ξ
1
+ξ
3
+…+ξ
r
,…,β
3
=ξ
1
+ξ
2
+ξ
4
+…+ξ
r
,…,β
r
=ξ
1
+ξ
2
+…+ξ
r-1
是Ax=0的基础解系.因①由解的性质知,Aβ
i
A(ξ
1
+ξ
2
+…+ξ
i-1
+ξ
i+1
+…+ξ
r
)=0,故β
i
均是Ax=0的解向量.②向量个数为r=n-r(A),与原基础解系向量个数一样多.对(A),当r=3时,α
1
=-ξ
2
-ξ
3
,α
2
=ξ
1
-ξ
3
,α
3
=ξ
1
+ξ
2
.因α
1
-α
2
+α
3
=-ξ
2
-ξ
3
-(ξ
1
-ξ
3
)+ξ
1
+{ξ
2
=0,α
1
,α
2
,α
3
线性相关,故(A)中α
1
,α
2
,…,α
r
不是Ax=0的基础解系.对(C),与ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
等价的向量组,向量组个数可以超过r个(即与ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
等价的向量组可能线性相关),对(D),与ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
等秩的向量组可能不是Ax=0的解向量,且个数也可以超过r,故(A),(C),(D)均不成立.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pQy4777K
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考研数学二
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