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设函数f(x)在闭区间[一a,a](a>0)上具有三阶连续导数,且f(一a)=一a,f(a)=a,f′(0)=0.证明:在开区间(一a,a)内至少存在一点ξ,使a。f"(ξ)=6.
设函数f(x)在闭区间[一a,a](a>0)上具有三阶连续导数,且f(一a)=一a,f(a)=a,f′(0)=0.证明:在开区间(一a,a)内至少存在一点ξ,使a。f"(ξ)=6.
admin
2020-05-02
44
问题
设函数f(x)在闭区间[一a,a](a>0)上具有三阶连续导数,且f(一a)=一a,f(a)=a,f′(0)=0.证明:在开区间(一a,a)内至少存在一点ξ,使a。f"(ξ)=6.
选项
答案
方法一 由麦克劳林公式,对任意x∈[-a,a],有 [*] ξ介于0和x之间. 分别令x=-a与a,由f′(0)=0,得 [*] 以上两式相减,得[*]即 [*] 由于f"′(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上连续,故f"′(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上必存在最大值M与最小值m,因此 [*] 由闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](-a,a),使 [*] 即a
2
f"′(ξ)=6 方法二 令[*]则F(-a)=F(0)=F(a)=0.分别在[-a,0]与[0,a]上对F(x)使用罗尔中值定理,知存在ξ
1
∈(-a,0)与ξ
2
∈(0,a),使 F′(ξ
1
)=F′(ξ
2
)=0 又 [*] 分别在[ξ
1
,0]与[0,ξ
2
]上对F′(x)使用罗尔中值定理,知存在η
1
∈(ξ
1
,0),η
2
∈(0,ξ
2
),使 F"(η
1
)=F"(η
2
)=0 在[η
1
,η
2
]上对F"(x)用罗尔中值定理,知存在ξ∈[η
1
,η
2
][*](-a,a),使F"′(ξ)=0,而[*]故有a
2
f"′(ξ)=6.
解析
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考研数学一
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