已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx一2ydy,并且f(1,1)=2.求z=f(x,y)在椭圆域D=上的最大值和最小值.

admin2016-01-11  46

问题 已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx一2ydy,并且f(1,1)=2.求z=f(x,y)在椭圆域D=上的最大值和最小值.

选项

答案首先求出f(x,y)的表达式.由dz=2xdx一2ydy,可知z=f(x,y)=x2一y2+C. 再由f(1,1)=2.得C=2,故z=f(x,y)=x2一y2+2. 其次求区域D内部的可能极值点.由方程组[*]可知在区域D内有一个驻点(0,0).f(0,0)=2.最后求区域D的边界上的可能极值点,转化为无条件极值计算.在椭圆[*],z=x2一(4—4x2)+2=5x2一2,其中(一1≤x≤1),其最大值为z|x=±=3,最小值为z|x=0=一2.再与f(0,0)=2比较,可知f(x,y)在椭圆域D上的最大值为3,最小值为一2.

解析
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