已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2．求z=f(x，y)在椭圆域D=上的最大值和最小值．

admin2016-01-11 83

问题已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2．求z=f(x，y)在椭圆域D=

上的最大值和最小值．

选项

答案首先求出f(x，y)的表达式．由dz=2xdx一2ydy，可知z=f(x，y)=x²一y²+C．再由f(1，1)=2．得C=2，故z=f(x，y)=x²一y²+2．其次求区域D内部的可能极值点．由方程组[*]可知在区域D内有一个驻点(0，0)．f(0，0)=2．最后求区域D的边界上的可能极值点，转化为无条件极值计算．在椭圆[*]，z=x²一(4—4x²)+2=5x²一2，其中(一1≤x≤1)，其最大值为z|_x=±=3，最小值为z|_x=0=一2．再与f(0，0)=2比较，可知f(x，y)在椭圆域D上的最大值为3，最小值为一2．

解析

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