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  3. 证明： （Ⅰ）对任意正整数n，都有成立； （Ⅱ）设an=1+—ln n，（n=1，2，…），证明{an}收敛。

证明： （Ⅰ）对任意正整数n，都有成立； （Ⅱ）设an=1+—ln n，（n=1，2，…），证明{an}收敛。

admin2017-12-29  41
问题 证明：
（Ⅰ）对任意正整数n，都有成立；
（Ⅱ）设an=1+—ln n，（n=1，2，…），证明{an}收敛。
选项
答案（Ⅰ）令[*]=x，则原不等式可化为 [*]＜ln（l +x）＜x，x＞0。 先证明ln（1+x）＜x，x＞0。 令f（x）=x—ln（1+x）。 由于 f’（x）=1—[*]＞0，x＞0， 可知f（x）在[0，+∞）上单调递增。又由于f（0）=0，因此当x＞0时，f（x）＞f（0）=0。 也即 ln（1+x）＜x，x＞0。 再证明[*]＜ln（1+x），x＞0。 令g（x）=ln（1+x）—[*]。 由于 [*] 可知g（x）在[0，+∞）上单调递增。又因g（0）=0，因此当x＞0时，g（x）＞g（0）=0。 即 [*]＜ln（1+x），x＞0。 因此，有 [*]＜ln（1+x）＜x，x＞0。 再代入[*]=x，即可得到所需证明的不等式。 （Ⅱ）an+1— an=[*] 可知数列{an}单调递减。 又由不等式 [*] 因此数列{an}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{an}收敛。
解析
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考研数学三

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