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考研
证明: (Ⅰ)对任意正整数n,都有成立; (Ⅱ)设an=1+—ln n,(n=1,2,…),证明{an}收敛。
证明: (Ⅰ)对任意正整数n,都有成立; (Ⅱ)设an=1+—ln n,(n=1,2,…),证明{an}收敛。
admin
2017-12-29
57
问题
证明:
(Ⅰ)对任意正整数n,都有
成立;
(Ⅱ)设a
n
=1+
—ln n,(n=1,2,…),证明{a
n
}收敛。
选项
答案
(Ⅰ)令[*]=x,则原不等式可化为 [*]<ln(l +x)<x,x>0。 先证明ln(1+x)<x,x>0。 令f(x)=x—ln(1+x)。 由于 f’(x)=1—[*]>0,x>0, 可知f(x)在[0,+∞)上单调递增。又由于f(0)=0,因此当x>0时,f(x)>f(0)=0。 也即 ln(1+x)<x,x>0。 再证明[*]<ln(1+x),x>0。 令g(x)=ln(1+x)—[*]。 由于 [*] 可知g(x)在[0,+∞)上单调递增。又因g(0)=0,因此当x>0时,g(x)>g(0)=0。 即 [*]<ln(1+x),x>0。 因此,有 [*]<ln(1+x)<x,x>0。 再代入[*]=x,即可得到所需证明的不等式。 (Ⅱ)a
n+1
— a
n
=[*] 可知数列{a
n
}单调递减。 又由不等式 [*] 因此数列{a
n
}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{a
n
}收敛。
解析
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考研数学三
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