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  3. 设，X是三阶矩阵，求当a为何值时，方程 AX－B﹦BX无解；当a为何值时，方程AX－B﹦BX有解，有解时，求出全部解。

设，X是三阶矩阵，求当a为何值时，方程 AX－B﹦BX无解；当a为何值时，方程AX－B﹦BX有解，有解时，求出全部解。

admin2019-01-22  62
问题 设，X是三阶矩阵，求当a为何值时，方程
AX－B﹦BX无解；当a为何值时，方程AX－B﹦BX有解，有解时，求出全部解。
选项
答案由题意得，矩阵方程为(A－B)X﹦B，且A-B﹦[*] 将矩阵B和X写成分块矩阵(按列分)的形式，则B﹦(β1，β2，β3)，X﹦(x1，x2，x3)，所 以矩阵方程为 (A－B)X﹦(A－B)(A－B)(x1，x2，x3)﹦(β1，β2，β3)， 即 (A－B)xi﹦βi，i﹦1，2，3。 对增广矩阵(A－B，B)实施初等行变换 [*] 当a﹦3时，r(A－B)﹦2，r(A－B，B)﹦3，则r(A－B)＜r(A－B，B)，此时方程AX－ B﹦BX无解。 当a≠3时，r(A－B)﹦r(A－B，B)﹦3，此时方程AX－B﹦BX有唯一解。 (A－B)x1﹦β1的解为x1﹦[*] (A－B)x2﹦β2的解为x2﹦(0，0，1)T； (A－B)x3﹦β3的解为x3﹦[*] 综上，方程AX-B﹦BX的解为 [*] 本题考查矩阵方程的求解。考生可由给出的矩阵方程为出发点，先将其转化为一个关于X的分量的线性方程组；再结合线性方程组解的结构理论进行求解。
解析
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考研数学一

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