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设,X是三阶矩阵,求当a为何值时,方程 AX-B﹦BX无解;当a为何值时,方程AX-B﹦BX有解,有解时,求出全部解。
设,X是三阶矩阵,求当a为何值时,方程 AX-B﹦BX无解;当a为何值时,方程AX-B﹦BX有解,有解时,求出全部解。
admin
2019-01-22
63
问题
设
,X是三阶矩阵,求当a为何值时,方程
AX-B﹦BX无解;当a为何值时,方程AX-B﹦BX有解,有解时,求出全部解。
选项
答案
由题意得,矩阵方程为(A-B)X﹦B,且A-B﹦[*] 将矩阵B和X写成分块矩阵(按列分)的形式,则B﹦(β
1
,β
2
,β
3
),X﹦(x
1
,x
2
,x
3
),所 以矩阵方程为 (A-B)X﹦(A-B)(A-B)(x
1
,x
2
,x
3
)﹦(β
1
,β
2
,β
3
), 即 (A-B)x
i
﹦β
i
,i﹦1,2,3。 对增广矩阵(A-B,B)实施初等行变换 [*] 当a﹦3时,r(A-B)﹦2,r(A-B,B)﹦3,则r(A-B)<r(A-B,B),此时方程AX- B﹦BX无解。 当a≠3时,r(A-B)﹦r(A-B,B)﹦3,此时方程AX-B﹦BX有唯一解。 (A-B)x
1
﹦β
1
的解为x
1
﹦[*] (A-B)x
2
﹦β
2
的解为x
2
﹦(0,0,1)
T
; (A-B)x
3
﹦β
3
的解为x
3
﹦[*] 综上,方程AX-B﹦BX的解为 [*] 本题考查矩阵方程的求解。考生可由给出的矩阵方程为出发点,先将其转化为一个关于X的分量的线性方程组;再结合线性方程组解的结构理论进行求解。
解析
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考研数学一
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