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设F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt,其中函数f(x)可导,且f’(x)>0在区间(—1,1)成立,则
设F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt,其中函数f(x)可导,且f’(x)>0在区间(—1,1)成立,则
admin
2020-06-11
21
问题
设F(x)=∫
0
x
(2t一x)f(t)dt,其中函数f(x)可导,且f’(x)>0在区间(—1,1)成立,则
选项
A、函数F(x)必在点x=0处取得极大值.
B、函数F(x)必在点x=0处取得极小值.
C、函数F(x)在点x=0处不取极值,但点(0,F(0))是曲线y=F(x)的拐点.
D、函数F(x)在点x=0处不取极值,且点(0,F(0))也不是曲线y=F(x)的拐点.
答案
C
解析
本题主要考查变上限定积分求导法、函数的极值以及曲线的拐点等有关知识.因
F(x)=2∫
0
x
tf(t)dt一x∫
∫
0
x
f(t)dt,
于是 F’(x)=2xf(x)一xf(x)一∫
0
x
f(t)dt=xf(x)一∫
0
f
f(t)dt,
F”(x)=xf’(x)+f(x)一f(x)=xf’(x)
由F"(x)符号的变化情况知,曲线y=F(x)在区间(一1,0]是凸的,在区间[0,1)是凹的,可见(0,F(0))是其拐点.
由F"(x)符号的变化情况还知道,F’(0)是F’(x)的最小值,又F’(0)=0,从而知F’(x)>0当x≠时成立,这表明F(x)在x=0处不取极值.
综合以上分析知,结论(C)正确,其余均不正确.故应选C.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/q184777K
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考研数学二
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