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(2010年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。 (I)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0); (Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0。
(2010年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。 (I)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0); (Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0。
admin
2018-04-17
53
问题
(2010年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫
0
2
f(x)dx=f(2)+f(3)。
(I)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0);
(Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0。
选项
答案
(I)令F(x)=∫
0
x
f(t)dt—xf(0),则F(0)=0,F=(2)=0,又因为F(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,故根据罗尔定理可得,至少存在一点η∈(0,2),使得F’(η)=0,即f(η)=f(0)。 (Ⅱ)因为f(2)+f(3)=2f(0),即[*]=f(0),又因为F(x)在[2,3]上连续,由介值定理知,至少存在一点η
1
∈[2,3],使得f(η
1
)=f(0)。 因为f(x)在[0,η]上连续,在(0,η)上可导,且f(0)=f(η)。所以由罗尔定理知,存在ξ
1
∈(0,η),有f’(ξ
1
)=0。 又因为f(x)在[η,η
1
]上是连续的,在(η,η
1
)上是可导的,且满足f(η)=f(η
1
)。所以由罗尔定理知,存在ξ
2
∈(η,η
1
),有f’(ξ
2
)=0。 因为f(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上是二阶可导的,且f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使得f"(ξ)=0。
解析
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0
考研数学三
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