2. 考研
  3. (2010年)设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。 (I)证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)； (Ⅱ)证明存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0。

(2010年)设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。 (I)证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)； (Ⅱ)证明存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0。

admin2018-04-17  64
问题 (2010年)设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。
    (I)证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)；
    (Ⅱ)证明存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0。
选项
答案(I)令F(x)=∫0xf(t)dt—xf(0)，则F(0)=0，F=(2)=0，又因为F(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，故根据罗尔定理可得，至少存在一点η∈(0，2)，使得F’(η)=0，即f(η)=f(0)。 (Ⅱ)因为f(2)+f(3)=2f(0)，即[*]=f(0)，又因为F(x)在[2，3]上连续，由介值定理知，至少存在一点η1∈[2，3]，使得f(η1)=f(0)。 因为f(x)在[0，η]上连续，在(0，η)上可导，且f(0)=f(η)。所以由罗尔定理知，存在ξ1∈(0，η)，有f’(ξ1)=0。 又因为f(x)在[η，η1]上是连续的，在(η，η1)上是可导的，且满足f(η)=f(η1)。所以由罗尔定理知，存在ξ2∈(η，η1)，有f’(ξ2)=0。 因为f(x)在[ξ1，ξ2]上是二阶可导的，且f’(ξ1)=f’(ξ2)=0，根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)，使得f"(ξ)=0。
解析
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考研数学三

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