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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f′(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 ｜f(x1)－f(x2)｜＜

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f′(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 ｜f(x1)－f(x2)｜＜

admin2020-03-05  17
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f′(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有
｜f(x1)－f(x2)｜＜
选项
答案联系f(x1)－f(x2)与f′(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x1≤x2≤1．分两种情形： 1)若x2－x1＜[*]，直接用拉格朗日中值定理得 ｜f(x1)－f(x2)｜=｜f′(ξ)(x2－x1)｜=｜f′(ξ)｜｜x2－x1｜＜[*]． 2)若x2－x1≥[*]，当0＜x1＜x2＜1时，利用条件f(0)=f(1)分别在[0，x1]与[x2，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x1)，η∈(x2，1)使得 ｜f(x1)－f(x2)｜=｜[f(x1)－f(0)]－[f(x2)－f(1)]｜ ≤｜f(x1)－f(0)｜+｜f(1)－f(x2)｜ =｜f′(ξ)x1｜+｜f′(η)(1－x2)｜ ＜x1+(1－x2)=1－(x2－x1)≤[*]， ①当x1=0且x2≥[*]时，有 ｜f(x1)－f(x2)｜=｜f(0)－f(x2)｜=｜f(1)－f(x2)｜=｜f′(η)(1－x2)｜≤[*]． ②当x1≤[*]且x2=1时，同样有 ｜f(x1)－f(x2)｜=｜f(x1)－f(1)｜=｜f(x1)－f(0)｜=｜f′(ξ)(x1－0)｜≤[*]． 因此对于任何x1，x2∈[0，1]总有 ｜f(x1)－f(x2)｜＜[*]．
解析
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考研数学一

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