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  3. 设随机变量X与Y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U与V

设随机变量X与Y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U与V

admin2018-11-20  25
问题 设随机变量X与Y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U与V
选项 A、不独立．
B、独立．
C、相关系数不为零．
D、相关系数为零．
答案D
解析 由于X与Y独立同分布，因此E(X)=E(Y)，E(X2)=E(Y2)．又
    E(U)=E(X—Y)=E(X)一E(Y)=0，
    E(UV)=E[(X—Y)(X+Y)]=E(X2一Y2)=E(X2)一E(Y2)=0，
    Cov(U，V)=E(UV)一E(U)E(V)=0，
从而可知U与V的相关系数为零，故选(D)．
    由X与Y独立可知ρXY=0．如果X与Y都服从正态分布，则U=X—Y和V=X+Y，也都服从正态分布，从而U与Y相互独立，(A)不正确．如果X与Y服从同一0-1分布：
P{X=0}=P{Y=0}=P{X=1}=P{Y=1}=
则    P{U=一1}=P{X=0，Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=
P{V=2}=P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=
P{U=一1，V=2}==0．
由于P{U=一1，V=2}≠P{U=一1}P{V=2}，故U与V不相互独立，(B)不正确．
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考研数学三

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