2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x—∫0xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x—∫0xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．

admin2020-03-16  54
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x—∫0xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．
选项
答案令φ(x)=2x—∫0xf(t)dt一1， φ(0)=一1，φ(1)=1一∫01f(t)dt， 由f(x)＜1得∫01f(t)dt＜1，从而φ(1)=1-∫01f(t)dt＞0， 由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(C)=0，即方程2x一∫0xf(t)dt=1至少有一个实根． 因为φ’(x)=2一f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上严格递增，故2x-∫0xf(t)dt=1在(0，1) 内有且仅有一个实根．
解析
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考研数学二

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