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  3. 已知曲线积分∫L(2xcosy-y2sinx)dx+(2ycosx-x2siny)dy的被积表达式是某函数u(x，y)的全微分，则u(x，y)=________．

已知曲线积分∫L(2xcosy-y2sinx)dx+(2ycosx-x2siny)dy的被积表达式是某函数u(x，y)的全微分，则u(x，y)=________．

admin2022-07-21  10
问题 已知曲线积分∫L(2xcosy-y2sinx)dx+(2ycosx-x2siny)dy的被积表达式是某函数u(x，y)的全微分，则u(x，y)=________．
选项
答案x2cosy+y2cosx+C
解析 方法一  由已知可知，曲线积分与路径无关，故取一简单路径：从点(0，0)经(x，0)点到点(x，y)的折线段，则
    u(x，y)=∫(0，0)(x，y)(2xcosy-y2sinx)dx+(2ycosx-x2siny)dy+C
    =∫0x2xdx+∫0y(2ycosx-x2siny)dy+C=x2cosy+y2cosx+C
    方法二  设所求函数为u(x，y)，那么由已知可得
    =P(x，y)=2xcosy-y2sinx，=Q(x，y)=2ycosx-x2siny
    u(x，y)=∫dx=∫(2xcosy-y2sinx)dx=x2cosy+y2cosx+C(y)
    =2ycosx-x2siny+C’(y)=2ycosx-x2siny
    从而C’(y)=0，即C(y)=C．因此u(x，y)=x2cosy+y2cosx+C．
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考研数学一

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