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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量p1=(﹣1,2,﹣1)T,p2=(0,﹣1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解,(1)求矩阵A的特征值和特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角形矩阵A,使得QTAQ=A.
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量p1=(﹣1,2,﹣1)T,p2=(0,﹣1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解,(1)求矩阵A的特征值和特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角形矩阵A,使得QTAQ=A.
admin
2020-06-05
61
问题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量p
1
=(﹣1,2,﹣1)
T
,p
2
=(0,﹣1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解,(1)求矩阵A的特征值和特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角形矩阵A,使得Q
T
AQ=A.
选项
答案
(1)因为p
1
,p
1
是线性方程组Ax=0的两个解,所以p
1
,p
2
是A的对应于特征值λ
1
=λ
2
=0的特征向量.又因为3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,所以A有一个特征值λ
3
=3,其对应的特征向量p
3
=(1,1,1)
T
.故而矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=3.同时λ
1
=λ
2
=0对应的特征向量为c
1
p
1
+c
2
p
2
(c
1
,c
2
不全为零);注意到矩阵A的各行元素之和均为3,故矩阵A的属于λ
3
=3的特征向量为c
3
p
3
=c
3
(1,1,1)
T
(c
3
≠0). (2)将p
1
,p
2
正交化得 β
1
=p
1
,β
2
=[*] 再将β
1
,β
2
,p
3
单位化,得 [*] 令 Q=(q
1
,q
2
,q
3
)=[*] 则 Q
T
AQ=[*]=diag(0,0,3)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tNv4777K
0
考研数学一
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