设函数f(x)在点x=a处可导,则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是( ).

admin2021-10-02  44

问题 设函数f(x)在点x=a处可导,则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是(    ).

选项 A、f(a)=0且f(a)=0
B、f(a)=0且f(a)≠0
C、f(a)>0且f(a)>0
D、f(a)<0且f(a)<0

答案A

解析 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项.
关于(A),令f(x)=x2,a=0,则f(a)=f(a)=0,但|f(x)|=x2在x=o可导,
因此(A)不正确;关于(C),令f(x)=x,a=1,则f(a)=1>0,f(a)=1>0,
但|f(x)|=|x|在x=1可导,所以(C)也可排除;关于(D),令f(x)=-x,a=1,
则f(a)=-1<0,f(a)=-1<0,但|f(x)|=|x|在x=1也可导,即(D)也可排除;关于(B)的正确性证明如下:设f(a)=0,f(a)≠0,不失一般性,设f(a)>0,
,因而在点x=a左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,记φ(x)=|f(x)|,

从而φ(x)在x=a不可导,即|f(x)|在x=a不可导.
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