设矩阵A＝(aij)m×n的秩为R(A)＝m﹤n，Em为m阶单位矩阵，下述结论正确的是( )．

admin2020-06-05 46

问题设矩阵A＝(a_ij)_m×n的秩为R(A)＝m﹤n，E_m为m阶单位矩阵，下述结论正确的是( )．

选项 A、A的任意m个列向量必线性无关
B、A的任意一个m阶子式不等于零
C、若矩阵B满足BA＝0，则B＝0
D、A通过初等行变换，必可以化为(E_m0)的形式

答案C

解析方法一
选项(A)，(B)显然不正确，将其中的“任意”都改为“存在”，结论才正确．对于矩阵A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型(E_m，0)的，故(D)也不正确，因而(C)入选．
方法二
由于矩阵A＝(a_ij)_m×n的秩为R(A)＝m﹤n，不妨设A的列向量组α₁，α₂，…，α_n的前m个向量α₁，α₂，…，α_m线性无关．于是由BA＝0可得B(α₁，α₂，…，α_n)＝0，进而B(α₁，α₂，…，α_m)＝0，又α₁，α₂，…，α_m线性无关，也就是m阶矩阵A₁＝(α₁，α₂，…，α_m)可逆，故而由B(α₁，α₂，…，α_m)＝0可得BA₁＝0，即BA₁AT₁^﹣1＝0，也就是B＝0．

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考研数学一

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