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设矩阵A=(aij)m×n的秩为R(A)=m﹤n,Em为m阶单位矩阵,下述结论正确的是( ).
设矩阵A=(aij)m×n的秩为R(A)=m﹤n,Em为m阶单位矩阵,下述结论正确的是( ).
admin
2020-06-05
41
问题
设矩阵A=(a
ij
)
m×n
的秩为R(A)=m﹤n,E
m
为m阶单位矩阵,下述结论正确的是( ).
选项
A、A的任意m个列向量必线性无关
B、A的任意一个m阶子式不等于零
C、若矩阵B满足BA=0,则B=0
D、A通过初等行变换,必可以化为(E
m
0)的形式
答案
C
解析
方法一
选项(A),(B)显然不正确,将其中的“任意”都改为“存在”,结论才正确.对于矩阵A,只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型(E
m
,0)的,故(D)也不正确,因而(C)入选.
方法二
由于矩阵A=(a
ij
)
m×n
的秩为R(A)=m﹤n,不妨设A的列向量组α
1
,α
2
,…,α
n
的前m个向量α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关.于是由BA=0可得B(α
1
,α
2
,…,α
n
)=0,进而B(α
1
,α
2
,…,α
m
)=0,又α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,也就是m阶矩阵A
1
=(α
1
,α
2
,…,α
m
)可逆,故而由B(α
1
,α
2
,…,α
m
)=0可得BA
1
=0,即BA
1
AT
1
﹣1
=0,也就是B=0.
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考研数学一
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