2. 考研
  3. [2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解． 求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ；

[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解． 求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ；

admin2021-01-25  54
问题 [2006年]  设三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．
求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ；
选项
答案解一 将α1，α2正交化．令ξ1=α1=[－1，2，－1]T，则[*] 再分别将ξ1，ξ2，α3单位化，得到 [*] 其中Q为正交矩阵，且QTAQ=Λ． 解二 下面不用正交化，凑出正交化的三个特征向量． 由于A只有一个重特征值λ1=λ2=0，所要求的A的3个两两正交的特征向量只需利用α1与α2的线性组合，找出一个与α1且同时与α3正交的特征向量即可，令 ξ2=α1+2α2=[－1，2，－1]T+2[0，－1，1]T=[－1，0，1]T． 显然，ξ2与α1=ξ1正交，同时也与α3正交，再将它们单位化，即 [*] 令Q=[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵，且有QTAQ=diag(0，0，3)． 解三 设A的属于特征值λ1=λ2=0的特征向量β=[x1，x2，x3]T，则β与α3正交，即x1+x2+x3=0．求解此齐次方程即得属于λ1=λ2的两个线性无关的特征向量为 β1=[－1，1，0]T， β2=[1，1，－2]T． 显然β1与β2正交，β1，β2与α3也正交，将其单位化便得到所求的正交矩阵，即 [*] 且使Q－1AQ=diag(0，0，3)=Λ．
解析
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考研数学三

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