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  3. [2003年] 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)．

[2003年] 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)．

admin2019-04-15  48
问题 [2003年]  设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)．
选项
答案解一 事件{X=1)和{X=2)是样本空间的一个划分，可视为一个完备事件组，因而利用全概率公式先求出U=X+Y的分布函数G(u)． 设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式知，U=X+Y的分布函数为 GU(u)=P(X+Y≤u)=P(X=1)P(X+Y≤u|X=1)+P(X=2)P(X+Y≤u|X=2)=0．3P(X+Y≤u|X=1)+0．7P(X+Y≤u|X=2)=0．3P(Y≤u－1|X=1)+0．7P(Y≤u－2|X=2)． 由于X与Y独立，有 GU(u)=0．3P(Y≤u－1)+0．7P(Y≤u－2)=0．3FY(u－1)+0．7FY(u－2)． ① 由此得U的概率密度为 g(u)=G’(u)=0．3FY’(u－1)+0．7FY’(u－2)=0．3f(u－1)+0．7f(u－2)． 解二 如不引用Y的分布函数FY(y)，由解一中的式①利用变限积分的求导公式也可按如下方法求g(u)： [*] GU’(u)=g(u)=0．3f(u－1)+0．7f(u－2)． 解三 用全集分解法求之，即将事件(X+Y≤u)对全集{X=1}，{X=2}分解，得到 {X+Y≤u}={X+Y≤u}{X=1}+{X+Y≤u}{X=2}． 再利用随机变量的独立性，得到 FU(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u) =P(X+Y≤u，X=1)+P(X+Y≤u，X=2) =P(y≤u－1，X=1)+P(Y≤u－2，X=2) =P(Y≤u－1)P(X=1)+P(y≤u－2)P(X=2) =0．3FY(u－1)+0．7FY(u－2) (FY(u)为Y的分布函数)， 则fU(u)=FU’(u)=0．3fY(u－1)+0．7fY(u－2)．
解析
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考研数学三

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