[2003年] 设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

admin2019-04-15  39

问题 [2003年]  设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

选项

答案解一 事件{X=1)和{X=2)是样本空间的一个划分,可视为一个完备事件组,因而利用全概率公式先求出U=X+Y的分布函数G(u). 设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式知,U=X+Y的分布函数为 GU(u)=P(X+Y≤u)=P(X=1)P(X+Y≤u|X=1)+P(X=2)P(X+Y≤u|X=2)=0.3P(X+Y≤u|X=1)+0.7P(X+Y≤u|X=2)=0.3P(Y≤u-1|X=1)+0.7P(Y≤u-2|X=2). 由于X与Y独立,有 GU(u)=0.3P(Y≤u-1)+0.7P(Y≤u-2)=0.3FY(u-1)+0.7FY(u-2). ① 由此得U的概率密度为 g(u)=G’(u)=0.3FY’(u-1)+0.7FY’(u-2)=0.3f(u-1)+0.7f(u-2). 解二 如不引用Y的分布函数FY(y),由解一中的式①利用变限积分的求导公式也可按如下方法求g(u): [*] GU’(u)=g(u)=0.3f(u-1)+0.7f(u-2). 解三 用全集分解法求之,即将事件(X+Y≤u)对全集{X=1},{X=2}分解,得到 {X+Y≤u}={X+Y≤u}{X=1}+{X+Y≤u}{X=2}. 再利用随机变量的独立性,得到 FU(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u) =P(X+Y≤u,X=1)+P(X+Y≤u,X=2) =P(y≤u-1,X=1)+P(Y≤u-2,X=2) =P(Y≤u-1)P(X=1)+P(y≤u-2)P(X=2) =0.3FY(u-1)+0.7FY(u-2) (FY(u)为Y的分布函数), 则fU(u)=FU’(u)=0.3fY(u-1)+0.7fY(u-2).

解析
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