[2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中证明行列式|A|=(n+1)an．

admin2019-04-28 61

问题 [2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中

证明行列式|A|=(n+1)aⁿ．

选项

答案证一利用三对称行列式的结论证之．由命题2．1．1．2知 [*] 故|A|=|A|^T=(n+1)aⁿ．证二用数学归纳法证之．当n=1时，|A|=|2a|=2a=(1+1)a¹=2a，结论成立．当n=2时，[*]结论也成立．假设结论对n－2，n－1阶行列式成立，则|A|_n－2=(n－1)a^n－2，|A|_n－1=na^n－1．将|A|按第1行展开得到 |A|_n=2a|A|_n－1－a²|A|_n－2=2－2a·na^n-1－a²·(n－1)a^n－2=(n+1)aⁿ，即结论对n阶行列式仍成立．由数学归纳法原理知，对任何正整数n，都有|A|=(n+1)aⁿ．证三为方便计，令D_n=|A|．将其按第1列展开得到D_n=2aD_n－1－a²D_n－2，即 D_n－aD_n－1=aD_n－1－a²D_n－2=a(D_n－1－aD_n－2)=a·a(D_n－2－aD_n－3) =a²(D_n－2－aD_n－3)=…=a^n－2(D₂－aD₁)=aⁿ，故 D_n=aⁿ+aD_n－1=aⁿ+a(a^n－1+aD_n－2)=2aⁿ+a²D_n－2=… =(n－2)aⁿ+a^n－2D₂=(n－2)aⁿ+a^n－2(a²+aD₁) =(n－1)aⁿ+a^n－1D₁=(n－1)aⁿ+a^n－1·2a=(n+1)aⁿ．证四利用行列式性质化成三角行列式求之． [*] (注：命题2．1．1．2 设n阶三对称行列式[*]则 [*])

解析

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，下列结论正确的是()．

设A是4×3阶矩阵且r(A)＝2，B＝，则r(AB)＝______．

设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y＝g(x)，y＝f(x)及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域绕直线y＝m旋转一周所得旋转体体积为()．

判断级数的敛散性．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．

将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于()

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0．(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；(2)求A的特征值与特征向量．

当a,b取何值时，方程组无解、有唯一解、有无数个解?在有无数个解时求其通解．

若行列式的某个元素aij加1，则行列式的值增加Aij．

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根据《森林法》，以下属于特种用途林的是()。

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不确定性分析方法有(　　)。

在Access表中，要查找包含问号（?）的记录，在"查找内容"框中应填写的内容是

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