某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总效益函数为 R(x，y)=15x+34y一x2一2xy一4y2一36 (单位：万元)．已知生产甲种产品每吨需支付排污费用1万元，生产乙种产品每吨需支付排污费2万元． (1)在不限

admin2016-12-16 35

问题某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总效益函数为
R(x，y)=15x+34y一x²一2xy一4y²一36 (单位：万元)．
已知生产甲种产品每吨需支付排污费用1万元，生产乙种产品每吨需支付排污费2万元．
(1)在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大？最大总利润是多少？
(2)当限制排污费用总量为6万元时，这两种产品的产量各为多少时总利润最大？最大总利润又是多少？

选项

答案(1)扣除排污费用后即得总利润函数： L(x，y)=R(x，y)一x一2y=一14x+32y一x²—2xy一4y²一36．令[*] 解得x=4，y=3是唯一驻点．因驻点唯一，且实际问题又存在最大值，故L(x，y)的最大值必在驻点(4，3)达到，所以当甲、乙两种产品的产量分别为4吨和3吨时，可获得最大利润，且最大利润为 maxL=14×4+32×3一4²一2×4×3一4×3²一36=40(万元)． (2)由题设知，应在条件x+2y=6下求L(x，y)的最大值．构造拉格朗日函数： [*] 解得 x=2，y=2，λ=一6．因驻点(2，2)唯一，且实际问题又存在最大值，故L(x，y)在条件x+2y=6下的最大值必在驻点(2，2)处达到．所以，当甲、乙两种产品均是2吨时，可获得最大利润： maxL=14×2+32×2一2²一2×2×2一4×2²一36=28(万元)．

解析列出总利润函数的表示式，然后分别按无条件极值和有条件极值求之．

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考研数学三

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