2. 考研
  3. f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)=0，f(1)=1，f′(0)=0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f′″(ξ)=3．

f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)=0，f(1)=1，f′(0)=0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f′″(ξ)=3．

admin2019-09-27  8
问题 f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)=0，f(1)=1，f′(0)=0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f′″(ξ)=3．
选项
答案由泰勒公式得 f(－1)=f(0)+f′(0)(－1－0)+[*]，ξ1∈(－1，0)， f(1)=f(0)+f′(0)(1－0)+[*]，ξ2∈(0，1)， 则f(0)+[*]=0，f(0)+[*]=1， 两式相减得f′″(ξ1)+f′″(ξ2)=6． 因为f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f′″(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f′″(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f′″(ξ1)+f′″(ξ2)≤2M，即m≤3≤M． 由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](－1，1)，使得f′″(ξ)=3．
解析
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考研数学一

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