设二次型为f﹦x12﹢2x22﹢6x32﹢2x1x2﹢2x1x3﹢6x2x3。 (I)用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵； (Ⅱ)证明二次型对应的矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A﹦UTU。

admin2019-01-22 60

问题设二次型为f﹦x₁²﹢2x₂²﹢6x₃²﹢2x₁x₂﹢2x₁x₃﹢6x₂x₃。
(I)用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵；
(Ⅱ)证明二次型对应的矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A﹦U^TU。

选项

答案(I)用配方法将二次型化为标准形 f﹦x₁²﹢2x₂²﹢6x₃²﹢2x₁x₂﹢2x₁x₃﹢6x₂x₃ ﹦(x₁﹢x₂﹢x₃)²﹢x₂²﹢5x₃²﹢4x₂x₃ ﹦(x₁﹢x₂﹢x₃)²﹢(x₂﹢2x₃)²﹢x₃²。 [*] 得f的标准形为f﹦y₁²﹢y₂²﹢y₃²，所用可逆线性变换为x﹦Cy，其中C﹦[*](｜C｜﹦1≠0)。 (Ⅱ)由(I)得，二次型的标准形为f﹦y₁²y₂²﹢y₃²，其系数全为正，所以二次型正定，即二次型对应的矩阵A为正定矩阵。方法一：由(I)知 f﹦(x₁﹢x₂﹢x₃)²﹢(x₂﹢2x₃)²﹢x₃² [*] 方法二：由题干得，二次型f﹦x^TAx对应的矩阵为A﹦[*] 由(I)知，f﹦x^TAx﹦y^TC^TACy﹦y^Ty，所以C^TAC﹦E，A﹦(C^－1)^TC^－1﹦U^TU，其中U﹦C^－1。 [*] 本题考查二次型。二次型标准化的方法有：配方法和正交变换法。证明二次型对应的矩阵A正定的方法有：定义、顺序主子式全部大于0、正惯性指数为n、特征值均大于0等。考生可根据对上述知识点的掌握程度选择求解方法。

解析

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考研数学一

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设二次型为f﹦x12﹢2x22﹢6x32﹢2x1x2﹢2x1x3﹢6x2x3。 (I)用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵； (Ⅱ)证明二次型对应的矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A﹦UTU。

考研数学一

设3阶矩阵A有3个特征向量η1=(1，1，1)T，η2=(1，2，4)T，η3=(1，3，9)T，它们的特征值依次为、1，2，3．又设α=(1，1，3)T，求Anα．

设随机变量X与Y相互独立同分布，且X的概率分布为记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，试求：(I)(U，V)的分布；(Ⅱ)E(UV)；(Ⅲ)ρUV．

已知一条抛物线通过x轴上两点A(1，0)，B(3，0)，方程为y＝a(x－1)(x－3)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于x轴与该抛物线所围成的面积．

计算曲面积分，I＝(x＋y＋z)dS，其中∑为左半球：x2＋y2＋z2＝R2，y≤0．

计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分将三重积分f(x，y，z)dV在三种坐标系下化成累次积分，其中Ω是由x2＋y2＋z2≤R2，x2＋y2≤z2，z≥0所围成的区域(如图9．19所示)．

求下列曲面积分(z＋1)dxdy＋xydzdx，其中为圆柱面x2＋y2＝a2上x≥0，0≤z≤1部分，法向量与x轴正向成锐角，为Oxy平面上半圆域x2＋y2≤a2，x≥0部分，法向量与z轴正向相反．

求下列平面上曲线积分其中L是椭圆周，取逆时针方向．

设f(x)为连续正值函数，x∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝｜(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)｜(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．

(n—1)x的和函数及定义域是______·

求极限

在绘制网络图时，应用较多的方法是【】

体层摄影中，X线曝光期间连杆摆过的角度称为

轻刺激能唤醒，醒后能进行简短而正确的交谈，见于下列哪种意识障碍

A、肾皮质B、肾髓质C、肾间质D、肾盂E、肾盏血行感染引起的急性肾盂肾炎，细菌最先侵犯

已知图中所示的三根弹簧的劲度系数分别为K1，K2，K3，振体的质量为m，则此系统沿铅垂方向振动的固有频率为(　　)。

金属材料物理特性随焊接温度的变化是影响焊接应力与变形的主要因素，而材料的（）随温度的变化是决定焊接热应力，应变的重要物理特性。

韩国人受西方文化影响，接受礼品要当面打开。()

儿童的心理障碍更多以()为主。

不愿提高政府债务上限的共和党众议员和参议员将。他们在具有可怕后果的政策，而最终的结果将与他们声称所要的截然相反，因为违约将立刻让政府的重要性增加而不是减少。依次填入画横线部分最恰当的一项是()。

设二次型为f﹦x12﹢2x22﹢6x32﹢2x1x2﹢2x1x3﹢6x2x3。 (I)用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵； (Ⅱ)证明二次型对应的矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A﹦UTU。

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设3阶矩阵A有3个特征向量η1=(1，1，1)T，η2=(1，2，4)T，η3=(1，3，9)T，它们的特征值依次为、1，2，3．又设α=(1，1，3)T，求Anα．

设随机变量X与Y相互独立同分布，且X的概率分布为记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，试求：(I)(U，V)的分布；(Ⅱ)E(UV)；(Ⅲ)ρUV．

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计算曲面积分，I＝(x＋y＋z)dS，其中∑为左半球：x2＋y2＋z2＝R2，y≤0．

计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分将三重积分f(x，y，z)dV在三种坐标系下化成累次积分，其中Ω是由x2＋y2＋z2≤R2，x2＋y2≤z2，z≥0所围成的区域(如图9．19所示)．

求下列曲面积分(z＋1)dxdy＋xydzdx，其中为圆柱面x2＋y2＝a2上x≥0，0≤z≤1部分，法向量与x轴正向成锐角，为Oxy平面上半圆域x2＋y2≤a2，x≥0部分，法向量与z轴正向相反．

求下列平面上曲线积分其中L是椭圆周，取逆时针方向．

设f(x)为连续正值函数，x∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝｜(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)｜(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．

(n—1)x的和函数及定义域是______·

求极限

在绘制网络图时，应用较多的方法是【】

体层摄影中，X线曝光期间连杆摆过的角度称为

轻刺激能唤醒，醒后能进行简短而正确的交谈，见于下列哪种意识障碍

A、肾皮质B、肾髓质C、肾间质D、肾盂E、肾盏血行感染引起的急性肾盂肾炎，细菌最先侵犯

已知图中所示的三根弹簧的劲度系数分别为K1，K2，K3，振体的质量为m，则此系统沿铅垂方向振动的固有频率为( )。

金属材料物理特性随焊接温度的变化是影响焊接应力与变形的主要因素，而材料的（）随温度的变化是决定焊接热应力，应变的重要物理特性。

韩国人受西方文化影响，接受礼品要当面打开。()

儿童的心理障碍更多以()为主。

不愿提高政府债务上限的共和党众议员和参议员将____。他们在____具有可怕后果的政策，而最终的结果将与他们声称所要的截然相反，因为违约将立刻让政府的重要性增加而不是减少。依次填入画横线部分最恰当的一项是()。

已知图中所示的三根弹簧的劲度系数分别为K1，K2，K3，振体的质量为m，则此系统沿铅垂方向振动的固有频率为(　　)。

不愿提高政府债务上限的共和党众议员和参议员将。他们在具有可怕后果的政策，而最终的结果将与他们声称所要的截然相反，因为违约将立刻让政府的重要性增加而不是减少。依次填入画横线部分最恰当的一项是()。