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设二次型为f﹦x12﹢2x22﹢6x32﹢2x1x2﹢2x1x3﹢6x2x3。 (I)用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵； (Ⅱ)证明二次型对应的矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A﹦UTU。
设二次型为f﹦x12﹢2x22﹢6x32﹢2x1x2﹢2x1x3﹢6x2x3。 (I)用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵； (Ⅱ)证明二次型对应的矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A﹦UTU。
admin
2019-01-22
57
问题
设二次型为f﹦x
1
2
﹢2x
2
2
﹢6x
3
2
﹢2x
1
x
2
﹢2x
1
x
3
﹢6x
2
x
3
。
(I)用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵；
(Ⅱ)证明二次型对应的矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A﹦U
T
U。
选项
答案
(I)用配方法将二次型化为标准形 f﹦x
1
2
﹢2x
2
2
﹢6x
3
2
﹢2x
1
x
2
﹢2x
1
x
3
﹢6x
2
x
3
﹦(x
1
﹢x
2
﹢x
3
)
2
﹢x
2
2
﹢5x
3
2
﹢4x
2
x
3
﹦(x
1
﹢x
2
﹢x
3
)
2
﹢(x
2
﹢2x
3
)
2
﹢x
3
2
。 [*] 得f的标准形为f﹦y
1
2
﹢y
2
2
﹢y
3
2
，所用可逆线性变换为x﹦Cy，其中C﹦[*](｜C｜﹦1≠0)。 (Ⅱ)由(I)得，二次型的标准形为f﹦y
1
2
y
2
2
﹢y
3
2
，其系数全为正，所以二次型正定，即二次型对应的矩阵A为正定矩阵。 方法一：由(I)知 f﹦(x
1
﹢x
2
﹢x
3
)
2
﹢(x
2
﹢2x
3
)
2
﹢x
3
2
[*] 方法二：由题干得，二次型f﹦x
T
Ax对应的矩阵为A﹦[*] 由(I)知，f﹦x
T
Ax﹦y
T
C
T
ACy﹦y
T
y，所以C
T
AC﹦E，A﹦(C
－1
)
T
C
－1
﹦U
T
U，其中U﹦C
－1
。 [*] 本题考查二次型。二次型标准化的方法有：配方法和正交变换法。证明二次型对应的矩阵A正定的方法有：定义、顺序主子式全部大于0、正惯性指数为n、特征值均大于0等。考生可根据对上述知识点的掌握程度选择求解方法。
解析
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考研数学一
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