设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,那么在下列矩阵中 ①A2; ②P—1AP; ③AT; α肯定是其特征向量的矩阵个数为( )

admin2020-03-24  52

问题 设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,那么在下列矩阵中
①A2
②P—1AP;
③AT

α肯定是其特征向量的矩阵个数为(     )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案B

解析 由Aα=Aα,α≠0,有A2α=A(Aα)=λAα=A2α,即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。
A属于特征值1—λ的特征向量。
关于②和③则不一定成立。这是因为
(P—1 AP)(P—1α)=P—1Aα=λP—1α,
按定义,矩阵P—1AP的特征向量是P—1α。因为P—1α与α不一定共线,因此α不一定是P—1AP的特征向量,即相似矩阵的特征向量是不一样的。
线性方程组(λE—A)x=0与(λE一AT)x=0不一定同解,所以α不一定是第二个方程组的解,即α不一定是AT的特征向量。所以应选B。
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