2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 ①A2； ②P—1AP； ③AT； α肯定是其特征向量的矩阵个数为（ ）

设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 ①A2； ②P—1AP； ③AT； α肯定是其特征向量的矩阵个数为（ ）

admin2020-03-24  102
问题 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中
①A2；
②P—1AP；
③AT；

α肯定是其特征向量的矩阵个数为（     ）
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案B
解析 由Aα=Aα，α≠0，有A2α=A（Aα）=λAα=A2α，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。
又A属于特征值1—λ的特征向量。
关于②和③则不一定成立。这是因为
（P—1 AP）（P—1α）=P—1Aα=λP—1α，
按定义，矩阵P—1AP的特征向量是P—1α。因为P—1α与α不一定共线，因此α不一定是P—1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。
线性方程组（λE—A）x=0与（λE一AT）x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量。所以应选B。
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考研数学三

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