设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 ①A2； ②P—1AP； ③AT； α肯定是其特征向量的矩阵个数为（）

admin2020-03-24 64

问题设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中
①A²；
②P^—1AP；
③A^T；

α肯定是其特征向量的矩阵个数为（）

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案B

解析由Aα=Aα，α≠0，有A²α=A（Aα）=λAα=A²α，即α必是A²属于特征值λ²的特征向量。
又

A属于特征值1—

λ的特征向量。
关于②和③则不一定成立。这是因为
（P^—1 AP）（P^—1α）=P^—1Aα=λP^—1α，
按定义，矩阵P^—1AP的特征向量是P^—1α。因为P^—1α与α不一定共线，因此α不一定是P^—1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。
线性方程组（λE—A）x=0与（λE一A^T）x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是A^T的特征向量。所以应选B。

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考研数学三

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