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  3. 设线性方程组（1）Ax=0的一个基础解系为α1=（1，1，1，0，2）T，α2=（1，1，0，1，1）T，α3=（1，0，1，1，2）T。线性方程组（2）Bx=0的一个基础解系为β1=（1，1，一1，一1，1）T，β2= （1，一1，1，一1，2）T，β3

设线性方程组（1）Ax=0的一个基础解系为α1=（1，1，1，0，2）T，α2=（1，1，0，1，1）T，α3=（1，0，1，1，2）T。线性方程组（2）Bx=0的一个基础解系为β1=（1，1，一1，一1，1）T，β2= （1，一1，1，一1，2）T，β3

admin2017-12-29  79
问题 设线性方程组（1）Ax=0的一个基础解系为α1=（1，1，1，0，2）T，α2=（1，1，0，1，1）T，α3=（1，0，1，1，2）T。线性方程组（2）Bx=0的一个基础解系为β1=（1，1，一1，一1，1）T，β2= （1，一1，1，一1，2）T，β3=（1，一1，一1，1，1）T。求
（Ⅰ）线性方程组的通解；
（Ⅱ）矩阵C=（AT，BT）的秩。
选项
答案（Ⅰ）线性方程组（1）Ax=0的通解为x=k1α1+k2α2+k3α3；线性方程组（2）Bx=0的通解为x=l1β1+l2β2+l3β3；线性方程组（3）[*]的解是方程组（1）和（2）的公共解，故考虑线性方程组（4）k1α1+k2α2+k3α3=l1β1+l2β2+l3β3，将其系数矩阵作初等行变换，即 [*] 则方程组（4）的一个基础解系是（一2，0，2，一1，0，1）T。将其代入（4）得到方程组（3）的一个基础解系ξ=一2α1+2α2=一β1+β3=（0，一2，0，2，0）T。所以方程组（3）的通解为 x=k（0，一1，0，1，0）T，其中k为任意常数。 （Ⅱ）线性方程组（3）[*]与线性方程组xT（AT，BT）=0等价，而方程组（3）的基础解系只含一个向量，故矩阵C=（AT，BT）的秩r（C）=5—1=4。
解析
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考研数学三

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