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设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1,1,1,0,2)T,α2=(1,1,0,1,1)T,α3=(1,0,1,1,2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1,1,一1,一1,1)T,β2= (1,一1,1,一1,2)T,β3
设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1,1,1,0,2)T,α2=(1,1,0,1,1)T,α3=(1,0,1,1,2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1,1,一1,一1,1)T,β2= (1,一1,1,一1,2)T,β3
admin
2017-12-29
75
问题
设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α
1
=(1,1,1,0,2)
T
,α
2
=(1,1,0,1,1)
T
,α
3
=(1,0,1,1,2)
T
。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β
1
=(1,1,一1,一1,1)
T
,β
2
= (1,一1,1,一1,2)
T
,β
3
=(1,一1,一1,1,1)
T
。求
(Ⅰ)线性方程组
的通解;
(Ⅱ)矩阵C=(A
T
,B
T
)的秩。
选项
答案
(Ⅰ)线性方程组(1)Ax=0的通解为x=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
;线性方程组(2)Bx=0的通解为x=l
1
β
1
+l
2
β
2
+l
3
β
3
;线性方程组(3)[*]的解是方程组(1)和(2)的公共解,故考虑线性方程组(4)k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=l
1
β
1
+l
2
β
2
+l
3
β
3
,将其系数矩阵作初等行变换,即 [*] 则方程组(4)的一个基础解系是(一2,0,2,一1,0,1)
T
。将其代入(4)得到方程组(3)的一个基础解系ξ=一2α
1
+2α
2
=一β
1
+β
3
=(0,一2,0,2,0)
T
。所以方程组(3)的通解为 x=k(0,一1,0,1,0)
T
,其中k为任意常数。 (Ⅱ)线性方程组(3)[*]与线性方程组x
T
(A
T
,B
T
)=0等价,而方程组(3)的基础解系只含一个向量,故矩阵C=(A
T
,B
T
)的秩r(C)=5—1=4。
解析
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考研数学三
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