2. 考研
  3. [2008年] 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=1／3(i=－1，0，1)，Y的概率密度为 记Z=X+Y. 求Z的概率密度fZ(z)．

[2008年] 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=1／3(i=－1，0，1)，Y的概率密度为 记Z=X+Y. 求Z的概率密度fZ(z)．

admin2019-05-11  60
问题 [2008年]  设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=1／3(i=－1，0，1)，Y的概率密度为
    记Z=X+Y.
求Z的概率密度fZ(z)．
选项
答案因X的可能取值为－1，0，1，而fY(y)取非零值的自变量范围为0≤y≤1，而－1≤x≤1，故－1≤z=x+y≤2．于是分下列几种情况进行讨论． ①当z≥2时，X，Y的所有取值均满足上式，故 F(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=1． ②当z=x+y＜－1时，X，Y只能取空值，则P(X+Y≤z)=P([*])=0． 当－1≤z＜2时，下用全概公式求出FZ(z)的表示式： FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=P(X+Y≤z|X=－1)P(X=－1)+P(X+Y≤z|X=0)P(X=0)+P(X+Y≤z|X=1)P(X=1) =(1／3)[P(y≤z+1)+P(Y≤z)+P(Y≤z－1)]． 考虑到Y在[0，1]上服从均匀分布，将－1≤z＜2再细分为三个区间求出上式概率． ③当－1≤z≤0时，有0≤z+1≤1，－2≤z－l≤－1，故 P(Y≤z)=P(Y≤z－1)=0． [*] ④当0≤z＜1时，有1≤z+1＜2，－1＜z－1＜0，故P(Y≤z－1)=0． [*] ⑤当1≤z＜2时，有2＜z+1＜3，0≤z－1＜1，故 [*]
解析
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考研数学三

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