[2008年] 设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P(X=i)=1/3(i=-1,0,1),Y的概率密度为 记Z=X+Y. 求Z的概率密度fZ(z).

admin2019-05-11  39

问题 [2008年]  设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P(X=i)=1/3(i=-1,0,1),Y的概率密度为
    记Z=X+Y.
求Z的概率密度fZ(z).

选项

答案因X的可能取值为-1,0,1,而fY(y)取非零值的自变量范围为0≤y≤1,而-1≤x≤1,故-1≤z=x+y≤2.于是分下列几种情况进行讨论. ①当z≥2时,X,Y的所有取值均满足上式,故 F(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=1. ②当z=x+y<-1时,X,Y只能取空值,则P(X+Y≤z)=P([*])=0. 当-1≤z<2时,下用全概公式求出FZ(z)的表示式: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=P(X+Y≤z|X=-1)P(X=-1)+P(X+Y≤z|X=0)P(X=0)+P(X+Y≤z|X=1)P(X=1) =(1/3)[P(y≤z+1)+P(Y≤z)+P(Y≤z-1)]. 考虑到Y在[0,1]上服从均匀分布,将-1≤z<2再细分为三个区间求出上式概率. ③当-1≤z≤0时,有0≤z+1≤1,-2≤z-l≤-1,故 P(Y≤z)=P(Y≤z-1)=0. [*] ④当0≤z<1时,有1≤z+1<2,-1<z-1<0,故P(Y≤z-1)=0. [*] ⑤当1≤z<2时,有2<z+1<3,0≤z-1<1,故 [*]

解析
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