2. 考研
  3. 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)＞0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点ξ∈[a,b]使得 ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)＞0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点ξ∈[a,b]使得 ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx

admin2022-10-08  59
问题 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)＞0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点ξ∈[a,b]使得
∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx
选项
答案因为f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)＞0,由最值定理，知道f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m，即m≤f(x)≤M. mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x) ∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx,m≤[*]≤M 由介值定理可知，存在ξ∈[a,b],使得 [*] 即∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx.
解析
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考研数学三

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