(98年)设矩阵A= 矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使.B与A相似;并求七为何值时,B为正定矩阵.

admin2019-03-19  54

问题 (98年)设矩阵A=
    矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使.B与A相似;并求七为何值时,B为正定矩阵.

选项

答案由|λE-A|=[*]=λ(λ-2)2=0 得A的特征值为λ1=λ2=2,λ3=0. 记对角矩阵 [*] 因A是实对称矩阵,故存在正交矩阵P,使得 P-1AP=PTAP=D 所以A=PDP-1 于是 B=(kE+A)2=(kPP-1+PDP-1)2=[P(kE+D)P-1]2=P(kE+D)P-1P(kE+D)P-1 =P(kE+D)2P-1 =[*] 由此可得 [*] 亦可由A的特征值为:2,2,0,得kA+A的特征值为:k+2,k+2,k,进而得B=(kE+A)2的特征值为:(k+2)2,(k+2)2,k2,从而得实对称矩阵B相似于对角阵A. 由上面的结果立刻得到:当k≠-2,且k≠0时,B的特征值均为正数,这时B为正定矩阵.

解析
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