2. 考研
  3. (98年)设矩阵A＝ 矩阵B＝(kE＋A)2，其中k为实数，E为单位矩阵．求对角矩阵A，使．B与A相似；并求七为何值时，B为正定矩阵．

(98年)设矩阵A＝ 矩阵B＝(kE＋A)2，其中k为实数，E为单位矩阵．求对角矩阵A，使．B与A相似；并求七为何值时，B为正定矩阵．

admin2019-03-19  74
问题 (98年)设矩阵A＝
    矩阵B＝(kE＋A)2，其中k为实数，E为单位矩阵．求对角矩阵A，使．B与A相似；并求七为何值时，B为正定矩阵．
选项
答案由｜λE－A｜＝[*]＝λ(λ－2)2＝0 得A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝0． 记对角矩阵 [*] 因A是实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使得 P-1AP＝PTAP＝D 所以A＝PDP-1 于是 B＝(kE＋A)2＝(kPP-1＋PDP-1)2＝[P(kE＋D)P-1]2＝P(kE＋D)P-1P(kE＋D)P-1 ＝P(kE＋D)2P-1 ＝[*] 由此可得 [*] 亦可由A的特征值为：2，2，0，得kA＋A的特征值为：k＋2，k＋2，k，进而得B＝(kE＋A)2的特征值为：(k＋2)2，(k＋2)2，k2，从而得实对称矩阵B相似于对角阵A． 由上面的结果立刻得到：当k≠－2，且k≠0时，B的特征值均为正数，这时B为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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