假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明： (1)为A—1的特征值； (2)为A的伴随矩阵A*的特征值．

admin2019-07-19 22

问题假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：
(1)

为A^—1的特征值；
(2)

为A的伴随矩阵A^*的特征值．

选项

答案(1)由已知，有非零向量ξ满足Aξ=λξ，两端左乘A^—1，得ξ=λA^—1ξ．因ξ≠0，故λ≠0，于是有A^—1ξ=[*]为A^—1的一个特征值(ξ为对应的一个特征向量)． (2)由于A^—1=[*]为A^*的特征值．

解析本题主要考查特征值与特征向量的定义．亦可利用特征方程证明(1)：若λ为可逆方阵A的特征值，则有｜λE一A｜=0，故必有λ≠0(否则λ=0．则有｜—A｜=0，即｜A｜=0，这与A可逆矛盾)，于是有｜λE一A｜=0

=0，因此A与A^—1的特征值按“倒数”关系形成一一对应．

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考研数学一

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