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假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明: (1)为A—1的特征值; (2)为A的伴随矩阵A*的特征值.
假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明: (1)为A—1的特征值; (2)为A的伴随矩阵A*的特征值.
admin
2019-07-19
36
问题
假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明:
(1)
为A
—1
的特征值;
(2)
为A的伴随矩阵A
*
的特征值.
选项
答案
(1)由已知,有非零向量ξ满足Aξ=λξ,两端左乘A
—1
,得ξ=λA
—1
ξ.因ξ≠0,故λ≠0,于是有A
—1
ξ=[*]为A
—1
的一个特征值(ξ为对应的一个特征向量). (2)由于A
—1
=[*]为A
*
的特征值.
解析
本题主要考查特征值与特征向量的定义.亦可利用特征方程证明(1):若λ为可逆方阵A的特征值,则有|λE一A|=0,故必有λ≠0(否则λ=0.则有|—A|=0,即|A|=0,这与A可逆矛盾),于是有|λE一A|=0
=0,因此A与A
—1
的特征值按“倒数”关系形成一一对应.
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考研数学一
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