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  3. 假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明： (1)为A—1的特征值； (2)为A的伴随矩阵A*的特征值．

假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明： (1)为A—1的特征值； (2)为A的伴随矩阵A*的特征值．

admin2019-07-19  36
问题 假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：
(1)为A—1的特征值；
(2)为A的伴随矩阵A*的特征值．
选项
答案(1)由已知，有非零向量ξ满足Aξ=λξ，两端左乘A—1，得ξ=λA—1ξ．因ξ≠0，故λ≠0，于是有A—1ξ=[*]为A—1的一个特征值(ξ为对应的一个特征向量)． (2)由于A—1=[*]为A*的特征值．
解析 本题主要考查特征值与特征向量的定义．亦可利用特征方程证明(1)：若λ为可逆方阵A的特征值，则有｜λE一A｜=0，故必有λ≠0(否则λ=0．则有｜—A｜=0，即｜A｜=0，这与A可逆矛盾)，于是有｜λE一A｜=0=0，因此A与A—1的特征值按“倒数”关系形成一一对应．
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考研数学一

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