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  3. 设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导且满足f(0)=0，f(x)≥0，f(x)≥f’(x)(x＞0)，求证：f(x)≡0．

设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导且满足f(0)=0，f(x)≥0，f(x)≥f’(x)(x＞0)，求证：f(x)≡0．

admin2018-11-21  70
问题 设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导且满足f(0)=0，f(x)≥0，f(x)≥f’(x)(x＞0)，求证：f(x)≡0．
选项
答案由f’(x)一f(x)≤0，得e-x[f’(x)一f(x)]=[e-xf(x)]’≤0． 又 f(x)e-x｜x=0=0，则f(x)e-x≤f(x)e-x｜x=0=0．进而f(x)≤0(x∈[0，+∞))， 因此 f(x)≡0([*]x∈[0，+∞))．
解析 因f(x)≥0，若能证f(x)≤0，则f(x)≡0．因f(0)=0，若能证f(x)单调不增或对某正函数R(x)，R(x)f(x)是单调不增的，这只需证f’(x)≤0或[R(x)f(x)]’≤0．由所给条件及积分因子法的启发，应采取后一种方法．
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考研数学一

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