2. 考研
  3. 设A，B为三阶矩阵，且AB＝A－B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明： 存在可逆矩阵P，使得P－1AP，P－1BP同时为对角矩阵．

设A，B为三阶矩阵，且AB＝A－B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明： 存在可逆矩阵P，使得P－1AP，P－1BP同时为对角矩阵．

admin2020-03-10  102
问题 设A，B为三阶矩阵，且AB＝A－B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：
存在可逆矩阵P，使得P－1AP，P－1BP同时为对角矩阵．
选项
答案因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则有A(ξ1，ξ2，ξ3)＝(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，BA(ξ1，ξ2，ξ3)＝B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，AB(ξ1，ξ2，ξ3)＝B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有ABξi＝λiBξi，i＝1，2，3．若Bξi≠0，则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi＝μiξi；若Bξi＝0，则ξi是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，则P－1AP，P－1BP同为对角阵．
解析
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考研数学三

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