设A=E+αβT,其中α=[a1,a2,…,an]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2. (1)求A的特征值和特征向量; (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.

admin2018-09-20  30

问题 设A=E+αβT,其中α=[a1,a2,…,an]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2.
    (1)求A的特征值和特征向量;
    (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.

选项

答案(1)设 (E+αβT)ξ=λξ. ① ①式两端左边乘βT得βT(E+αβT)ξ=(βTTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ. 若βTξ≠0,则λ=1+βTα=3;若βTξ=0,则由①式,λ=1. 当λ=1时,(E-A)X=一αβTX=[*][b1,b2,…,bn]X=0,即[b1,b2,…,bn]X=0,因αTβ=2, 故α≠0,β≠0,设b1≠0,则 ξ1=[b2,一b1,0,…,0]T,ξ2=[b3,0,一b1,…,0]T,…,ξn-1=[bn,0,…,0,一b1]T,即A的对应于特征值1的特征向量为k1ξ+k2ξ2+…+kn-1ξn-1,k1,k2,…,kn-1为不全为零的常数; 当λ=3时,(3E-A)X=(2E一αβT)X=0,ξn=α=[a1,a2,…,an]T,即A的对应于特征值3的特征向量为knξn,kn是不为零的常数. (2)由(1)可取可逆矩阵P=[ξ1,ξ2,…,ξn-1,ξn]=[*] 故P-1AP=[*]

解析
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