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设A=E+αβT,其中α=[a1,a2,…,an]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2. (1)求A的特征值和特征向量; (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.
设A=E+αβT,其中α=[a1,a2,…,an]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2. (1)求A的特征值和特征向量; (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.
admin
2018-09-20
30
问题
设A=E+αβ
T
,其中α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
≠0,β=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
≠0,且α
T
β=2.
(1)求A的特征值和特征向量;
(2)求可逆矩阵P,使得P
-1
AP=A.
选项
答案
(1)设 (E+αβ
T
)ξ=λξ. ① ①式两端左边乘β
T
得β
T
(E+αβ
T
)ξ=(β
T
+β
T
αβ
T
)ξ=(1+β
T
α)β
T
ξ=λβ
T
ξ. 若β
T
ξ≠0,则λ=1+β
T
α=3;若β
T
ξ=0,则由①式,λ=1. 当λ=1时,(E-A)X=一αβ
T
X=[*][b
1
,b
2
,…,b
n
]X=0,即[b
1
,b
2
,…,b
n
]X=0,因α
T
β=2, 故α≠0,β≠0,设b
1
≠0,则 ξ
1
=[b
2
,一b
1
,0,…,0]
T
,ξ
2
=[b
3
,0,一b
1
,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[b
n
,0,…,0,一b
1
]
T
,即A的对应于特征值1的特征向量为k
1
ξ+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-1
,k
1
,k
2
,…,k
n-1
为不全为零的常数; 当λ=3时,(3E-A)X=(2E一αβ
T
)X=0,ξ
n
=α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
,即A的对应于特征值3的特征向量为k
n
ξ
n
,k
n
是不为零的常数. (2)由(1)可取可逆矩阵P=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-1
,ξ
n
]=[*] 故P
-1
AP=[*]
解析
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考研数学三
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