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求让:x∈[0,1]时, ≤xp+(1一x)≤1,p>1;1≤xp+(1—x)p≤,0<p<1.
求让:x∈[0,1]时, ≤xp+(1一x)≤1,p>1;1≤xp+(1—x)p≤,0<p<1.
admin
2018-11-21
45
问题
求让:x∈[0,1]时,
≤x
p
+(1一x)≤1,p>1;1≤x
p
+(1—x)
p
≤
,0<p<1.
选项
答案
令f(x)=x
p
+(1一x)
p
,则f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且有 f’(x)=p[x
p—1
一(1—x)
p—1
].令f’(x)=0得x=[*]. 易知 f(0)=f(1)=1,[*]. 当p>1时,1>[*] → f(x)在[0,1]的最大值为1,最小值为[*] → [*]≤f(x)≤1,x∈[0,1]. 当0<p<1时,1<[*] → f(x)在[0,1]的最大值为[*],最小值为1 → 1≤f(x)≤[*],x∈[0,1].
解析
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考研数学一
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