设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：．

admin2019-05-14 27

问题设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：

．

选项

答案[*]等价于∫₀¹f²(x)dx∫₀¹xf(x)dx≥∫₀¹f(x)dx∫₀¹xf²(x)dx，等价于∫₀¹f²(x)dx∫₀¹yf(y)dy≥∫₀¹f(x)dx∫₀¹yf²(y)dy，或者 ∫₀¹dx∫₀¹yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy≥0 令I=∫₀¹dx∫₀¹yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy，根据对称性，I=∫₀¹dx∫₀¹xf(x)f(y)[f(y)一f(x)]dy， 2I=∫₀¹dx∫₀¹f(x)f(y)(y—x)[f(x)一f(y)]dy，因为f(x)＞0且单调减少，所以(y—x)[f(x)一f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以[*]．

解析

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