2. 考研
  3. 设y=y(x)二阶可导，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)将x=x(y)所满足的微分方程d2x/dy2+(y+sinx)(dx/dy)3=0变换为y=y(x)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y′(

设y=y(x)二阶可导，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)将x=x(y)所满足的微分方程d2x/dy2+(y+sinx)(dx/dy)3=0变换为y=y(x)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y′(

admin2022-08-19  59
问题 设y=y(x)二阶可导，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数.
(1)将x=x(y)所满足的微分方程d2x/dy2+(y+sinx)(dx/dy)3=0变换为y=y(x)所满足的微分方程；
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=3/2的解.
选项
答案[*] 代入原方程得y″-y=sinx，特征方程为r2-1=0，特征根为r1，2±1，因为i不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=-1/2，故y*=-(1/2)sinx，于是方程的通解为y=C1ex+C2e-x-1/2sinx(C1，C2为任意常数). (2)由初始条件得C1=1，C2=-1，满足初始条件的特解为y=ex-e-x-1/2sinx.
解析
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考研数学三

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