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设z=z(x,y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值。
设z=z(x,y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值。
admin
2018-11-16
57
问题
设z=z(x,y)是由9x
2
-54xy+90y
2
-6yz-z
2
+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值。
选项
答案
利用一阶全微分形式不变性,将方程求全微分即得 18xdx-54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy-6ydz-2zdz=0,即(18x+54y)dx+(180y-54x-6z)dy-(6y+2z)dz=0。 从而[*]为求隐函数z=z(x,y)的驻点,应解方程组 [*] ②可化简得x=3y,由③可得z=30y-9x=3y,代入①可解得两个驻点x=3,y=1,z=3与x=-3,y=-1,z=-3。 为判定z=z(x,y)在两个驻点处是否取得极值,还需求z=z(x,y)在这两点的二阶偏导数: [*] 记P=(3,1,3),Q=(-3,-1,-3),即可得出在P点处[*], 故[*],故在点(3,1)处z=z(x,y)取得极小值z(3,1)=3。 类似可知在Q点处[*], 故B2
-AC=[*],且[*],故在点(-3,-1)处z=z(x,y)取得极大值z(-3,-1)=-3。
解析
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考研数学三
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