2. 考研
  3. 设z=z(x，y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值。

设z=z(x，y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值。

admin2018-11-16  59
问题 设z=z(x，y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值。
选项
答案利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18xdx-54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy-6ydz-2zdz=0，即(18x+54y)dx+(180y-54x-6z)dy-(6y+2z)dz=0。 从而[*]为求隐函数z=z(x，y)的驻点，应解方程组 [*] ②可化简得x=3y，由③可得z=30y-9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3，y=1，z=3与x=-3，y=-1，z=-3。 为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y)在这两点的二阶偏导数： [*] 记P=(3，1，3)，Q=(-3，-1，-3)，即可得出在P点处[*]， 故[*]，故在点(3，1)处z=z(x，y)取得极小值z(3，1)=3。 类似可知在Q点处[*]， 故B2-AC=[*]，且[*]，故在点(-3，-1)处z=z(x，y)取得极大值z(-3，-1)=-3。
解析
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考研数学三

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