设A为3阶矩阵，｜A｜＝6，｜A＋E｜＝｜A－2E｜＝｜A＋3E｜＝0，试判断矩阵(2A)是否相似于对角矩阵，其中(2A)是(2A)的伴随矩阵．

admin2016-06-30 63

问题设A为3阶矩阵，｜A｜＝6，｜A＋E｜＝｜A－2E｜＝｜A＋3E｜＝0，试判断矩阵(2A)^*是否相似于对角矩阵，其中(2A)^*是(2A)的伴随矩阵．

选项

答案由条件有，｜E－A｜＝(－1)³｜E＋A｜＝0，｜2E－A｜＝(－1)³×｜－2E＋A｜＝0，｜－3E－A｜＝(－1)³｜3E＋A｜＝0，[*]A有特征值－1，2，－3，从而是A的全部特征值，A^-1的全部特征值为－1，[*]，而(2A)^*＝｜2A｜(2A)^-1＝2³｜A｜[*]A^-1＝24^-1，[*](2A)^*＝24A^-1的全部特征值为－24，12，－8，因3阶方阵(2A)^*有3个互不相同特征值，故(2A)^*可相似对角化．

解析

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