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设常数a≥0,证明:当x>0时,(-2ax+1)e-x<1.
设常数a≥0,证明:当x>0时,(-2ax+1)e-x<1.
admin
2020-10-30
66
问题
设常数a≥0,证明:当x>0时,(
-2ax+1)e
-x
<1.
选项
答案
令f(x)=e
x
-[*]+2ax-1,x>0,则f’(x)=e
x
-[*]+2a,f"(x)=e
x
-[*],f"’(x)=e
x
,令f"(x)=0,得x=-ln2,f"’(-ln2)=[*]>0,则x=-ln2是f’(x)的极小值点,也是最小值点,且最小值为f’(-ln2)=[*]+2a>0,故当x>0时,f’(x)≥f’(-ln2)>0,说明当x>0时,f(x)单调递增,于是f(x)>f(0)=0,即e
x
>[*]-2ax+1,故([*]-2ax+1)e
-x
<1.
解析
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考研数学三
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