2. 考研
  3. 设y＝f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明(1)中的c

设y＝f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明(1)中的c

admin2017-12-31  48
问题 设y＝f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．
(1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(x)为曲边的曲边梯形的面积；
(2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明(1)中的c是唯一的．
选项
答案(1)S1(c)＝cf(c)，S2(c)＝∫c1f(t)dt＝－∫1cf(t)dt，即证明S1(c)＝ S2(c)，或 cf(c)＋∫1cf(t)dt＝0．令φ(x)＝x∫1xf(t)dt，φ(0)＝φ(1)＝0，根据罗尔定理．存在c∈(0，1)，使得φ’(c)＝0，即cf(c)＋∫1cf(t)dt＝0，所以S1(c)＝S2(c)，命题得证． (2)令h(x)＝xf(x)－∫x1f(t)dt，因为h’(x)＝2f(x)＋xf’(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数．所以(1)中的c是唯一的．
解析
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考研数学三

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