设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

admin2018-05-22 54

问题设二次型f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃经过正交变换X=QY化为标准形f=y₁²+y₂²+4y₃²，求参数a，b及正交矩阵Q．

选项

答案二次型f=2x₁+2x₂+ax₃+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃的矩阵形式为 f=X^TAX 其中A=[*]，因为Q^TAQ=B=[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而｜λE-A｜=λ³-(a+4)λ²+(4a-b²+2)λ+(-3a-2b+2b²+2)，所以有λ³-(a+4)λ²+(4a-b²+2)λ+(-3a-2b+2b²+2)=(λ-1)²(λ-4)，解得a=2，b=1．当λ₁=λ₂=1时，由(E-A)X=0得ξ₁=[*]，ξ₂=[*]由λ₃=4时，由(4E-A)X=0得ξ₃=[*]．显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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考研数学二

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设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

考研数学二

(2011年试题，三)已知函数F(x)=试求a的取值范围．

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点．(1)试求曲线L的方程；(2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

试确定A，B，C的值，使得ex(1＋Bx＋Cx2)＝1＋Ax＋v(x3)．其中v(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小．

若x→0时，与xsinx是等价无穷小，则a＝________．

计算二重积分，其中D＝{(x，y)｜(x－1)2＋(y—1)2≤2，y≥x}．

设u=M(x，y)在全平面上有连续偏导数，若(x2+y2≥R2>0)，求证

一质量为M、长为Z的均匀杆AB吸引着一质量为m的质点C，此质点C位于杆AB的中垂线上，且与AB的距离为a．试求：当质点C在杆AB的中垂线上从点C沿y轴移向无穷远处时，克服引力所做的功．

已知，当x→∞时，p，q取何值时f(x)为无穷小量?p，q取何值时f(x)为无穷大量?

关于二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是()

试述中国制度文化对世界的影响。

马车从小腹压过，腰与骨盆区疼痛，休克，不能自行排尿，膀胱膨满，直肠指诊，指套上染有血迹。正确的诊断是

患者，男，57岁。无明显诱因感胸痛、咳嗽、咳痰、低热、呼吸困难20余天。查体：气管左移，右锁骨上淋巴结肿大，右肺叩诊为实音，呼吸音消失。胸穿示血性胸腔积液。对诊断最有价值的检查是

关于单纯疱疹病毒，正确的是

按照FIDIC《施工合同条件》规定，如果指定分包商不是因执行承包商的错误指令而出现违约行为时，(　　)。

深加工结转随附单据栏目填报正确的有：

新文化运动的主要阵地有()

Himalaya’sRecedingGlaciersThegreatmajorityoftheworld’sglaciersappeartobedecliningatratesequaltoorgreater

设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

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(2011年试题，三)已知函数F(x)=试求a的取值范围．

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点．(1)试求曲线L的方程；(2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

试确定A，B，C的值，使得ex(1＋Bx＋Cx2)＝1＋Ax＋v(x3)．其中v(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小．

若x→0时，与xsinx是等价无穷小，则a＝________．

计算二重积分，其中D＝{(x，y)｜(x－1)2＋(y—1)2≤2，y≥x}．

设u=M(x，y)在全平面上有连续偏导数，若(x2+y2≥R2>0)，求证

一质量为M、长为Z的均匀杆AB吸引着一质量为m的质点C，此质点C位于杆AB的中垂线上，且与AB的距离为a．试求：当质点C在杆AB的中垂线上从点C沿y轴移向无穷远处时，克服引力所做的功．

已知，当x→∞时，p，q取何值时f(x)为无穷小量?p，q取何值时f(x)为无穷大量?

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患者，男，57岁。无明显诱因感胸痛、咳嗽、咳痰、低热、呼吸困难20余天。查体：气管左移，右锁骨上淋巴结肿大，右肺叩诊为实音，呼吸音消失。胸穿示血性胸腔积液。对诊断最有价值的检查是

关于单纯疱疹病毒，正确的是

按照FIDIC《施工合同条件》规定，如果指定分包商不是因执行承包商的错误指令而出现违约行为时，( )。

深加工结转随附单据栏目填报正确的有：

新文化运动的主要阵地有()

Himalaya’sRecedingGlaciersThegreatmajorityoftheworld’sglaciersappeartobedecliningatratesequaltoorgreater

按照FIDIC《施工合同条件》规定，如果指定分包商不是因执行承包商的错误指令而出现违约行为时，(　　)。