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设x∈(0,1),证明: (1)(1+x)ln2(1+x)<x2; (2)。
设x∈(0,1),证明: (1)(1+x)ln2(1+x)<x2; (2)。
admin
2014-01-26
87
问题
设x∈(0,1),证明:
(1)(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
;
(2)
。
选项
答案
(1)令ψ(x)=(1+x)ln
2
(1+x)-x
2
,则有ψ(0)=0,且 ψ’(x)=ln
2
(1+x)+2ln(1+x)-2x,ψ(0)=0. [*] x∈(0,1)→ψ"(x)<ψ"(0)=0→(x)<ψ’(0),x∈(0,1). 所以ψ’(z)<0,从而ψ(x)<0,即 (1+x)ln
2
(1+x)
2, (2)令[*],则有 [*], 由(1)知,f’(x)<0(当x∈(0,1)),于是推知在(0,1)内,f(x)单调减少.又f(x)在区间(0,1]上连续,且[*],故当x∈(0,1)时, [*], 不等式左边证毕. 又[*], 故当x∈(0,1)时, [*], 不等式右边证毕.
解析
[分析] 利用函数的单调性证明不等式.
[评注] 利用单调性证明不等式是最常用的方法之一,一般结论为f
(n)
(x)>0,x∈(a,b)→f
(n-1)
(a,b)在(a,b)内单调增加.
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考研数学二
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