设f(x)在区间(－∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设f(x)=2∫0xf’(x－t)t2dt+sinx，求f(x)．

admin2022-04-05 50

问题设f(x)在区间(－∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设f(x)=2∫₀^xf’(x－t)t²dt+sinx，求f(x)．

选项

答案f(x)=2∫₀^xf’(x－t)t²dt+sinx=－2∫₀^xt²d[f(x－t)]+sinx =－2[t²f(x－t)｜₀^x－2∫₀^xtf(x－t)dt]+sinx =－2[x²(0)－0－2∫_x⁰(x－u)f(u)(－du)]+sinx =－2x²(0)+4x∫₀^xf(u)du－4∫₀^xuf(u)du+sinx， f’(x)=－4xf(0)+4∫₀^xf(u)du+4xf(x)－4xf(x)+cosx =－4xf(0)+4∫₀^xf(u)du+cosx， f’’(x)=－4f(0)+4f(x)－sinx．由上述表达式可见有f(0)=0，f’(0)=1．所以由f’’(x)－4f(x)=－sinx，解得 f(x)=C₁e^2x+C₂e^－2x+[*]sinx．由f(0)=0，f’(0)=1，得C₁+C₂=0，2C₁－2C₂+[*]=1，所以 [*]

解析

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