积分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值

admin2018-06-27 25

问题积分∫_a^a+2πcosxln(2+cosx)dx的值

选项 A、与a有关．
B、是与a无关的负数．
C、是与a无关的正数．
D、为零．

答案C

解析由于被积函数ln(2+cosx).cosx是以2π为周期的偶函数，因此
原式=∫₀^2πln(2+cosx)cosxdx=∫_-π^πln(2+cosx)cosxdx
=2∫₀^πln(2+cosx)cosxdx=2∫₀^πln(2+cosx)d(sinx)
=2[sinxln(2+cosx))｜₀^π-∫₀^πsinxdln(2+cosx)]=2∫₀^π

.
又因为在[0，π]上，被积函数连续，非负，不恒为零，因此该积分是与a无关的正数．故选(C)．

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