设f(x)在(0,+∞)内连续且单调减少.证明: ∫1n+1f(x)dx≤≤f(1)+∫1nf(x)dx.

admin2018-05-25  21

问题 设f(x)在(0,+∞)内连续且单调减少.证明:
1n+1f(x)dx≤≤f(1)+∫1nf(x)dx.

选项

答案1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx, 当x∈[1,2]时,f(x)≤f(1),两边积分得∫12f(x)dx≤f(1), 同理∫23f(x)dx≤f(2),…,∫nn+1f(x)dx≤f(n),相加得∫1n+1f(x)dx≤[*]f(k); 当x∈[1,2]时,f(2)≤f(x),两边积分得f(2)≤∫12f(x)dx, 同理f(3)≤∫23f(x)dx,…,f(n)≤∫n-1nf(x)dx, 相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx,于是[*]f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx.

解析
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