2. 考研
  3. (Ⅰ)设A是n阶方阵，A＝O是否是A2＝O的充分必要条件，说明理由； (Ⅱ)设A是2阶方阵，证明A3＝O的充分必要条件是A2＝O．

(Ⅰ)设A是n阶方阵，A＝O是否是A2＝O的充分必要条件，说明理由； (Ⅱ)设A是2阶方阵，证明A3＝O的充分必要条件是A2＝O．

admin2019-01-24  36
问题 (Ⅰ)设A是n阶方阵，A＝O是否是A2＝O的充分必要条件，说明理由；
(Ⅱ)设A是2阶方阵，证明A3＝O的充分必要条件是A2＝O．
选项
答案(Ⅰ)因A＝O，则A2＝O，故A＝O是A2＝O的充分条件． 取反例，[*]，知A＝O不是A2＝O的必要条件． (Ⅱ)因A2＝O，则A3＝O，故A2＝O是A3＝O的充分条件． 现证A3＝O[*]2＝O． 因A3＝O，故｜A3｜＝｜A｜3＝0，即｜A｜＝0，则A是不可逆矩阵． 故r(A)＜2，即r(A)＝0或r(A)＝1． 当r(A)＝0时，A3＝O[*]A2＝O； 当r(A)＝1时，A≠O，A的两列成比例．设[*] [*] 其中μ≠0，若μ＝0已证A2＝O．由A3＝A2A＝μAA＝μA2＝O，μ≠0，得证A2＝O． 故当A是2阶方阵时，A2＝O[*]A3＝O．
解析
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考研数学一

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