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(Ⅰ)设A是n阶方阵,A=O是否是A2=O的充分必要条件,说明理由; (Ⅱ)设A是2阶方阵,证明A3=O的充分必要条件是A2=O.
(Ⅰ)设A是n阶方阵,A=O是否是A2=O的充分必要条件,说明理由; (Ⅱ)设A是2阶方阵,证明A3=O的充分必要条件是A2=O.
admin
2019-01-24
33
问题
(Ⅰ)设A是n阶方阵,A=O是否是A
2
=O的充分必要条件,说明理由;
(Ⅱ)设A是2阶方阵,证明A
3
=O的充分必要条件是A
2
=O.
选项
答案
(Ⅰ)因A=O,则A
2
=O,故A=O是A
2
=O的充分条件. 取反例,[*],知A=O不是A
2
=O的必要条件. (Ⅱ)因A
2
=O,则A
3
=O,故A
2
=O是A
3
=O的充分条件. 现证A
3
=O[*]
2
=O. 因A
3
=O,故|A
3
|=|A|
3
=0,即|A|=0,则A是不可逆矩阵. 故r(A)<2,即r(A)=0或r(A)=1. 当r(A)=0时,A
3
=O[*]A
2
=O; 当r(A)=1时,A≠O,A的两列成比例.设[*] [*] 其中μ≠0,若μ=0已证A
2
=O.由A
3
=A
2
A=μAA=μA
2
=O,μ≠0,得证A
2
=O. 故当A是2阶方阵时,A
2
=O[*]A
3
=O.
解析
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考研数学一
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