2. 考研
  3. 设f(x，y)=|x—y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续．则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的( )

设f(x，y)=|x—y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续．则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的( )

admin2019-07-24  24
问题 设f(x，y)=|x—y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续．则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的(     )
选项 A、必要条件但非充分条件．
B、充分条件但非必要条件．
C、充分必要条件．
D、既非充分又非必要条件．
答案C
解析 先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以

由于

按可微定义，f(x，y)在点(0，0)处可微，且af=0.△x+0.△y，即f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．
再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’x(0，0)与f’y(o，0)必都存在．

其中x→0+时取“+”，x→0－时取“一”．由于f’x(0，0)存在，所以φ(0，0)=－9(0，0)，从而φ(0，0)=0．证毕．
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考研数学一

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