设矩阵其行列式|A|=－1．又A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=[－1，－1，1]T．求a，b，c和λ0的值．

admin2019-05-08 87

问题设矩阵

其行列式|A|=－1．又A^*有一个特征值λ₀，属于λ₀的一个特征向量为α=[－1，－1，1]^T．求a，b，c和λ₀的值．

选项

答案由题设知A^*α=λ₀α，这可得到3个方程再加上|A|=－1，共有4个方程．原则上讲，可求得待求的4个常数a，b，c和λ₀，但计算A^*很复杂，需利用A^*A=AA^*=|A|E加以转化．这是求解这4个方程的关键所在．为此，在A^*α=λ₀α两边左乘A，得到 AA^*α=Aλ₀α=λ₀Aα，即 |A|α=λ₀Aα，亦即－α=λ₀Aα，于是 [*] 由此可得到 [*] 由式①一式③得到2λ₀=2，即λ₀=1．将λ₀=1代入式②得b=－3，将λ₀=1代入式①得到a=c． [*] 故a=2，因而c=a=2．于是有a=2，b=－3，c=2，λ₀=1．

解析

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考研数学三

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