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求下列二重积分: (Ⅰ)I=,其中D为正方形域:0≤χ≤1,0≤y≤1; (Ⅱ)I=|3χ+4y|dχdy,其中D:χ2+y2≤1; (Ⅲ)I=ydχdy,其中D由直线χ=-2,y=0,y=2及曲线χ=-所围成.
求下列二重积分: (Ⅰ)I=,其中D为正方形域:0≤χ≤1,0≤y≤1; (Ⅱ)I=|3χ+4y|dχdy,其中D:χ2+y2≤1; (Ⅲ)I=ydχdy,其中D由直线χ=-2,y=0,y=2及曲线χ=-所围成.
admin
2017-04-11
50
问题
求下列二重积分:
(Ⅰ)I=
,其中D为正方形域:0≤χ≤1,0≤y≤1;
(Ⅱ)I=
|3χ+4y|dχdy,其中D:χ
2
+y
2
≤1;
(Ⅲ)I=
ydχdy,其中D由直线χ=-2,y=0,y=2及曲线χ=-
所围成.
选项
答案
(Ⅰ)尽管D的边界不是圆弧,但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便.D的边界线χ=1及y=1的极坐标方程分别为 [*] (Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示,若用分块积分法较复杂.因D是圆域,可用极坐标变换,转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形.这时可利用周期函数的积分性质. 作极坐标变换χ=rcosθ,y=rsinθ,则D:0≤θ≤2π,0≤r≤1.从而 [*] 其中sinθ
0
=[*],cosθ
0
=[*].由周期函数的积分性质,令t=θ+θ
0
就有 [*] (Ⅲ)D的图形如图8.27所示.若把D看成正方形区域挖去半圆D
1
,则计算D
1
上的积分自然选用极坐标变换.若只考虑区域D,则自然考虑先χ后y的积分顺序化为累次积分.若注意D关于直线y=1对称,选择平移变换则最为方便. [*] 作平移变换u=χ,v=y-1,注意曲线χ=-[*], 即χ
2
(y-1)
2
=1,χ≤0,则D变成D′. D′由u=-2,v=-1,v=1,u
2
+v
2
=1(u≤0)围成,则 [*]
解析
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考研数学二
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